383: オープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）である

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オープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T_1$および$T_1$の任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）$T_2\subseteq T_1$に対して、$T_2$上の任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$は$T_1$上でオープン（開）である。

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2: 証明

サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、$U=U^{\prime }\cap T_2$、ここで、$U^{\prime }\subseteq T_1$は$T_1$上でオープン（開）。$T_2$は$T_1$上でオープン（開）であるから、$U$は$T_1$上でオープン（開）である、有限数オープンセット（開集合）たちのインターセクション（共通集合）として。

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参考資料

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