オープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)および\(T_1\)の任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）\(T_2 \subseteq T_1\)に対して、\(T_2\)上の任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)は\(T_1\)上でオープン（開）である。
2: 証明
サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、\(U = U' \cap T_2\)、ここで、\(U' \subseteq T_1\)は\(T_1\)上でオープン（開）。\(T_2\)は\(T_1\)上でオープン（開）であるから、\(U\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、有限数オープンセット（開集合）たちのインターセクション（共通集合）として。
