361: サブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）は、必ずしもサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）に包含されている

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サブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）は、必ずしもサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）に包含されていることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はそれらサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つのサブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）は、必ずしもそれらサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意のサブセット（部分集合）たち$S_1,S_2\subseteq T$に対して、それらサブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）$\overline{S_1\setminus S_2}$は、必ずしも　それらサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差$\overline{S_1}\setminus \overline{S_2}$ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー$\overline{S_1}$内に包含されている、それが意味するのは、$\overline{S_1\setminus S_2}\subseteq \overline{S_1}$。

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2: 証明

$T$は${\mathbb{R}}^2$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）であり、$S_1$はオープンボール（開球）$B_{0-2}$であり、$S_2$はオープンボール（開球）$B_{0-1}$である、ここで、$B_{p-r}$は$p$を中心とする半径$r$のオープンボール（開球）を表わす、と仮定する。すると、$\overline{S_1\setminus S_2}$は$B_{0-1}$のボーダー（境界）を包含しているが、$\overline{S_1}\setminus \overline{S_2}$はそうでない。したがって、1つの反例があるので、$\overline{S_1\setminus S_2}$は必ずしも$\overline{S_1}\setminus \overline{S_2}$ではない。

$S_1\setminus S_2=S_1\cap (T\setminus S_2)$。任意の有限数サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はそれらサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているという命題によって、$\overline{S_1\setminus S_2}\subseteq \overline{S_1}\cap \overline{(T\setminus S_2)}\subseteq \overline{S_1}$。

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参考資料

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