サブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）は、必ずしもサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はそれらサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つのサブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）は、必ずしもそれらサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1, S_2 \subseteq T\)に対して、それらサブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）\(\overline{S_1 \setminus S_2}\)は、必ずしも それらサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差\(\overline{S_1} \setminus \overline{S_2}\)ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー\(\overline{S_1}\)内に包含されている、それが意味するのは、\(\overline{S_1 \setminus S_2} \subseteq \overline{S_1}\)。
2: 証明
\(T\)は\(\mathbb{R}^2\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）であり、\(S_1\)はオープンボール（開球）\(B_{0-2}\)であり、\(S_2\)はオープンボール（開球）\(B_{0-1}\)である、ここで、\(B_{p-r}\)は\(p\)を中心とする半径\(r\)のオープンボール（開球）を表わす、と仮定する。すると、\(\overline{S_1 \setminus S_2}\)は\(B_{0-1}\)のボーダー（境界）を包含しているが、\(\overline{S_1} \setminus \overline{S_2}\)はそうでない。したがって、1つの反例があるので、\(\overline{S_1 \setminus S_2}\)は必ずしも\(\overline{S_1} \setminus \overline{S_2}\)ではない。
\(S_1 \setminus S_2 = S_1 \cap (T \setminus S_2)\)。任意の有限数サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はそれらサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているという命題によって、\(\overline{S_1 \setminus S_2} \subseteq \overline{S_1} \cap \overline{(T \setminus S_2)} \subseteq \overline{S_1}\)。
