360: トポロジカルスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）である

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トポロジカルスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のベーシス（基底）$B=\{B_{\alpha }\}$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$にサブスペース（部分空間）トポロジーを付けたものに対して、当該ベーシス（基底）と当該サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）$\{B_{\alpha }\cap S\}$は当該サブスペース（部分空間）のベーシス（基底）である。

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2: 証明

$S$上の任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq S$に対して、$U=U^{\prime }\cap S$、ここで、$U^{\prime }\subseteq T$は$T$上でオープン（開）。任意のポイント$p\in U$に対して、$p\in U^{\prime }$なので、以下を満たすある$B_{\alpha }$がある、つまり、$p\in B_{\alpha }\subseteq U^{\prime }$、ベーシス（基底）の定義によって。$p\in S$であるので、$p\in B_{\alpha }\cap S\subseteq U^{\prime }\cap S=U$。したがって、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq S$および任意のポイント$p\in U$に対して、以下を満たすある$B_{\alpha }\cap S$、つまり、$p\in B_{\alpha }\cap S\subseteq U$がある、それが意味するのは、$\{B_{\alpha }\cap S\}$は$S$に対するベーシス（基底）であるということ、ベーシス（基底）の定義によって。

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参考資料

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