トポロジカルスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のベーシス（基底）\(B = \{B_\alpha\}\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)にサブスペース（部分空間）トポロジーを付けたものに対して、当該ベーシス（基底）と当該サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）\(\{B_\alpha \cap S\}\)は当該サブスペース（部分空間）のベーシス（基底）である。
2: 証明
\(S\)上の任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq S\)に対して、\(U = U' \cap S\)、ここで、\(U' \subseteq T\)は\(T\)上でオープン（開）。任意のポイント\(p \in U\)に対して、\(p \in U'\)なので、以下を満たすある\(B_\alpha\)がある、つまり、\(p \in B_\alpha \subseteq U'\)、ベーシス（基底）の定義によって。\(p \in S\)であるので、\(p \in B_\alpha \cap S \subseteq U' \cap S = U\)。したがって、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq S\)および任意のポイント\(p \in U\)に対して、以下を満たすある\(B_\alpha \cap S\)、つまり、\(p \in B_\alpha \cap S \subseteq U\)がある、それが意味するのは、\(\{B_\alpha \cap S\}\)は\(S\)に対するベーシス（基底）であるということ、ベーシス（基底）の定義によって。
