メトリックスペース（計量空間）に対して、1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドサブセット（閉集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のメトリックスペース（計量空間）\(M\)に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）\(\{p\} \subseteq M\)はクローズド（閉）である。
2: 証明
\(M \setminus \{p\}\)および任意のポイント\(p' \in M \setminus \{p\}\)のことを考える。\(p \neq p'\)であるので、2ポイントたち間のディスタンス（距離）の定義により、\(d (p, p') \gt 0\)。したがって、任意の\(0 \lt \epsilon \lt d (p, p')\)に対して、\(p'\)周りのオープンボール（開球）\(B_{p'-\epsilon}\)は\(p\)を包含しない、したがって、\(B_{p'-\epsilon} \subseteq M \setminus \{p\}\)。したがって、\(M \setminus \{p\}\)はオープン（開）である、したがって、\(\{p\}\)はクローズド（閉）である。
