375: メトリックスペース（計量空間）に対して、1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である

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メトリックスペース（計量空間）に対して、1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: メトリックスペース（計量空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドサブセット（閉集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のメトリックスペース（計量空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のメトリックスペース（計量空間）$M$に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）$\{p\}\subseteq M$はクローズド（閉）である。

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2: 証明

$M\setminus \{p\}$および任意のポイント$p^{\prime }\in M\setminus \{p\}$のことを考える。$p\ne p^{\prime }$であるので、2ポイントたち間のディスタンス（距離）の定義により、$d(p,p^{\prime })>0$。したがって、任意の$0<ϵ<d(p,p^{\prime })$に対して、$p^{\prime }$周りのオープンボール（開球）$B_{p^{\prime }-ϵ}$は$p$を包含しない、したがって、$B_{p^{\prime }-ϵ}\subseteq M\setminus \{p\}$。したがって、$M\setminus \{p\}$はオープン（開）である、したがって、$\{p\}$はクローズド（閉）である。

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参考資料

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