ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得ることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のダイレクテッドセット（有向集合）\(S\)、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネット\(f: S \rightarrow T\)に対して、\(f\)は最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得る。
2: 証明
\(f\)は2つのコンバージェンス（収束ポイント）たち\(p_1, p_2 \in T\)を持っていたと仮定する。\(p_j\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_j\)、ここで、\(j = 1 \text{ or } 2\)、に対して、以下を満たすあるインデックス\(i_j \in S\)、つまり、あらゆる\(i \in S, i_j \leq i\)に対して、\(f (i) \in N_j\)、がある。\(T\)はハウスドルフであるから、\(N_1\)と\(N_2\)をディスジョイント（互いに素）であるように取ろう。ダイレクテッドセット（有向集合）の定義によって、以下を満たすあるインデックス\(i_3 \in S\)、つまり、\(i_1 \leq i_3\)および\(i_2 \leq i_3\)、がある。あらゆる\(i_3 \leq i\)に対して、\(f (i) \in N_1\)および\(f (i) \in N_2\)ということになるが、それは矛盾である、\(N_1\) と\(N_2\)はディスジョイント（互いに素）であるから。
