376: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得る

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ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得ることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のダイレクテッドセット（有向集合）$S$、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）$T$、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネット$f:S\to T$に対して、$f$は最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得る。

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2: 証明

$f$は2つのコンバージェンス（収束ポイント）たち$p_1,p_2\in T$を持っていたと仮定する。$p_j$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_j$、ここで、$j=1\text{ or }2$、に対して、以下を満たすあるインデックス$i_j\in S$、つまり、あらゆる$i\in S,i_j\le i$に対して、$f(i)\in N_j$、がある。$T$はハウスドルフであるから、$N_1$と$N_2$をディスジョイント（互いに素）であるように取ろう。ダイレクテッドセット（有向集合）の定義によって、以下を満たすあるインデックス$i_3\in S$、つまり、$i_1\le i_3$および$i_2\le i_3$、がある。あらゆる$i_3\le i$に対して、$f(i)\in N_1$および$f(i)\in N_2$ということになるが、それは矛盾である、$N_1$ と$N_2$はディスジョイント（互いに素）であるから。

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参考資料

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