369: レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントのネイバーフッド（近傍）はクローズド（閉）なネイバーフッド（近傍）を包含する

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レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントのネイバーフッド（近傍）はクローズド（閉）なネイバーフッド（近傍）を包含することの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義 を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）はあるクローズド（閉）なネイバーフッド（近傍）を包含するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）$T$、任意のポイント$p\in T$、$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$p\in N_p\subseteq T$に対して、$N_p$はあるクローズド（閉）ネイバーフッド（近傍）を包含する。

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2: 証明

あるオープンセット（開集合）$U_p\subseteq N_p,p\in U_p$がある。$T\setminus U_p$はクローズド（閉）であり、$p$を包含しない。したがって、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義によって、以下を満たすあるディスジョイント（互いに素）なネイバーフッド（近傍）たち$N_1,N_2$、つまり、$p\in N_1\subseteq T$および$T\setminus U_p\subseteq N_2\subseteq T$、$N_1\cap N_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、私たちは$N_1$および$N_2$をオープン（開）ネイバーフッド（近傍）たちとして取る、それは常に可能である（当該定義記事の注を参照）、がある。実のところ、$\overline{N_1}\cap N_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、$\overline{N_1}$は$N_1$のクロージャー（閉包）、なぜなら、$\overline{N_1}=N_1\cup ac(N_1)$、ここで、$ac(N_1)$は$N_1$の全アキュームレーションポイント（集積点）たちの集合、しかし、$N_1$の任意のアキュームレーションポイント（集積点）は$N_2$に属さない、なぜなら、任意のポイント$p^{\prime }\in N_2$に対して、$N_2$はオープン（開）であるから、あるオープンセット（開集合）$U_{p^{\prime }}$、$p^{\prime }\in U_{p^{\prime }}\subseteq N_2$があり、それは$N_1$のいかなるポイントも包含しない、したがって、$p^{\prime }$は$N_1$のアキュームレーションポイント（集積点）ではない。したがって、$\overline{N_1}\subseteq T\setminus N_2\subseteq T\setminus (T\setminus U_p)=U_p$、なぜなら、$T\setminus U_p\subseteq N_2$。したがって、$\overline{N_1}$は、$U_p$に包含されたクローズド（閉）ネイバーフッド（近傍）であるが、(U_p\)は$N_p$に包含されている。

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参考資料

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