レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントのネイバーフッド（近傍）はクローズド（閉）なネイバーフッド（近傍）を包含することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義 を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）はあるクローズド（閉）なネイバーフッド（近傍）を包含するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のポイント\(p \in T\)、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(p \in N_p \subseteq T\)に対して、\(N_p\)はあるクローズド（閉）ネイバーフッド（近傍）を包含する。
2: 証明
あるオープンセット（開集合）\(U_p \subseteq N_p, p \in U_p\)がある。\(T \setminus U_p\)はクローズド（閉）であり、\(p\)を包含しない。したがって、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義によって、以下を満たすあるディスジョイント（互いに素）なネイバーフッド（近傍）たち\(N_1, N_2\)、つまり、\(p \in N_1 \subseteq T\)および\(T \setminus U_p \subseteq N_2 \subseteq T\)、\(N_1 \cap N_2 = \emptyset\)、ここで、私たちは\(N_1\)および\(N_2\)をオープン（開）ネイバーフッド（近傍）たちとして取る、それは常に可能である（当該定義記事の注を参照）、がある。実のところ、\(\overline{N_1} \cap N_2 = \emptyset\)、ここで、\(\overline{N_1}\)は\(N_1\)のクロージャー（閉包）、なぜなら、\(\overline{N_1} = N_1 \cup ac (N_1)\)、ここで、\(ac (N_1)\)は\(N_1\)の全アキュームレーションポイント（集積点）たちの集合、しかし、\(N_1\)の任意のアキュームレーションポイント（集積点）は\(N_2\)に属さない、なぜなら、任意のポイント\(p' \in N_2\)に対して、\(N_2\)はオープン（開）であるから、あるオープンセット（開集合）\(U_{p'}\)、\(p' \in U_{p'} \subseteq N_2\)があり、それは\(N_1\)のいかなるポイントも包含しない、したがって、\(p'\)は\(N_1\)のアキュームレーションポイント（集積点）ではない。したがって、\(\overline{N_1} \subseteq T \setminus N_2 \subseteq T \setminus (T \setminus U_p) = U_p\)、なぜなら、\(T \setminus U_p \subseteq N_2\)。したがって、\(\overline{N_1}\)は、\(U_p\)に包含されたクローズド（閉）ネイバーフッド（近傍）であるが、(U_p\)は\(N_p\)に包含されている。
