コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントであるマップ（写像）はグローバルにコンスタントであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントである任意のマップ（写像）はグローバルにコンスタントであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）\(T\)および以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: T \rightarrow S\)、ここで、\(S\)は任意のセット（集合）、つまり、各ポイント\(p \in T\)の周りに以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(U_p \subseteq T, p \in U_p\)、つまり、\(f\)は\(U_p\)上でコンスタントである、がある、に対して、\(f\)はグローバルにコンスタントである。
2: 証明
全てのポイントたちに対する\(U_p\)たちの集合はオープンカバー\(S_c = \{U_p\}\)を構成する。
任意のポイント\(p_0 \in T\)を選ぶと、対応するオープンセット（開集合）\(U_{p_0} \in S_c, p_0 \in U_{p_0}\)があり、その上で\(f\)はコンスタントなイメージ（像）\(f (p_0)\)を取る。任意の他のポイント\(p \in T\)に対して、対応するオープンセット（開集合）\(U_{p} \in S_c, p \in U_{p}\)があり、その上で\(f\)はコンスタントなイメージ（像）\(f (p)\)を取る。
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンカバーの任意の要素たちペアは、当該オープンカバーのいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるという命題によって、\(S_c\)の要素たちの\(U_{p_0}\)から開始して\(U_p\)で終わるシーケンスがあり、当該シーケンスの各隣接要素たちペアは、あるポイントを共有している。明らかに、それら共有ポイントたちを介して、\(f\)は当該シーケンスの全要素たち上で同一イメージ（像）\(f (p_0)\)を取る。したがって、\(f (p) = f (p_0)\)。
3: 注
当命題は明白であるように思われるかもしれないが、そういうシーケンスの存在を厳密に証明しなければならない。
