149: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントであるマップ（写像）はグローバルにコンスタントである

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コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントであるマップ（写像）はグローバルにコンスタントであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンカバーの任意の要素たちペアは、当該オープンカバーのいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントである任意のマップ（写像）はグローバルにコンスタントであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）$T$および以下を満たす任意のマップ（写像）$f:T\to S$、ここで、$S$は任意のセット（集合）、つまり、各ポイント$p\in T$の周りに以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U_p\subseteq T,p\in U_p$、つまり、$f$は$U_p$上でコンスタントである、がある、に対して、$f$はグローバルにコンスタントである。

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2: 証明

全てのポイントたちに対する$U_p$たちの集合はオープンカバー$S_c=\{U_p\}$を構成する。

任意のポイント$p_0\in T$を選ぶと、対応するオープンセット（開集合）$U_{p_0}\in S_c,p_0\in U_{p_0}$があり、その上で$f$はコンスタントなイメージ（像）$f(p_0)$を取る。任意の他のポイント$p\in T$に対して、対応するオープンセット（開集合）$U_p\in S_c,p\in U_p$があり、その上で$f$はコンスタントなイメージ（像）$f(p)$を取る。

任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンカバーの任意の要素たちペアは、当該オープンカバーのいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるという命題によって、$S_c$の要素たちの$U_{p_0}$から開始して$U_p$で終わるシーケンスがあり、当該シーケンスの各隣接要素たちペアは、あるポイントを共有している。明らかに、それら共有ポイントたちを介して、$f$は当該シーケンスの全要素たち上で同一イメージ（像）$f(p_0)$を取る。したがって、$f(p)=f(p_0)$。

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3: 注

当命題は明白であるように思われるかもしれないが、そういうシーケンスの存在を厳密に証明しなければならない。

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参考資料

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