プリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）イメージ（像）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って、であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）イメージ（像）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S_3 \subseteq S_2\)に対して、\(f \circ f^{-1} (S_3) = S_3\)、もしも、\(S_3 \subseteq f (S_1)\)である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(S_3 \subseteq f (S_1)\)だと仮定する。任意の\(p \in f \circ f^{-1} (S_3)\)に対して、\(p \in S_3\)、プリイメージ（前像）の定義によって。任意の\(p \in S_3\)に対して、\(S_3 \subseteq f (S_1)\)なので、\(f^{-1} (p) \neq \emptyset\)、そして、\(f (f^{-1} (p)) = p\)、プリイメージ（前像）の定義によって、したがって、\(p \in f \circ f^{-1} (S_3)\)。
\(f \circ f^{-1} (S_3) = S_3\)だと仮定する。\(S_3 \subseteq f (S_1)\)でないと仮定する。以下を満たす\(p \in S_3\)、つまり、\(p \notin f (S_1)\)、があることになる。\(f^{-1} (p) = \emptyset\)、それは、\(p \notin f \circ f^{-1} (S_3)\)を意味することになる、したがって、\(p \notin S_3\)、矛盾。
3: 注
不注意に、当該条件をチェックすることなく\(f \circ f^{-1} (S_3) = S_3\)だと結論しないことが重要である。
