プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）レンジ（値域）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）レンジ（値域）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
\({S_2}^`\): \(\subseteq S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \circ f^{-1} ({S_2}^`) = {S_2}^`\)
\(\iff\)
\({S_2}^` \subseteq f (S_1)\)
//
2: 注
不注意に、当該条件をチェックすることなく\(f \circ f^{-1} ({S_2}^`) = {S_2}^`\)だと結論しないことが重要である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f \circ f^{-1} ({S_2}^`) = {S_2}^`\)であると仮定する; ステップ2: \({S_2}^` \subseteq f (S_1)\)でなかったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ3: \({S_2}^` \subseteq f (S_1)\)だと仮定する; ステップ4: 各\(p \in f \circ f^{-1} ({S_2}^`)\)に対して、\(p \in {S_2}^`\)であり、各\(p \in {S_2}^`\)に対して、\(p \in f \circ f^{-1} ({S_2}^`)\)であることを見る。
ステップ1:
\(f \circ f^{-1} ({S_2}^`) = {S_2}^`\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\({S_2}^` \subseteq f (S_1)\)でなかったと仮定しよう。
以下を満たすある\(p \in {S_2}^`\)、つまり、\(p \notin f (S_1)\)、があることになる。
\(p \notin f \circ f^{-1} ({S_2}^`) = {S_2}^`\)、矛盾。
したがって、\({S_2}^` \subseteq f (S_1)\)。
ステップ3:
\({S_2}^` \subseteq f (S_1)\)であると仮定しよう。
ステップ4:
各\(p \in f \circ f^{-1} ({S_2}^`)\)に対して、\(p = f (p')\)、ある\(p' \in f^{-1} ({S_2}^`)\)に対して、それが含意するのは、\(f (p') \in {S_2}^`\)、したがって、\(p = f (p') \in {S_2}^`\)。
したがって、\(f \circ f^{-1} ({S_2}^`) \subseteq {S_2}^`\)。
各\(p \in {S_2}^`\)に対して、\({S_2}^` \subseteq f (S_1)\)であるから、\(p = f (p')\)、ある\(p' \in S_1\)に対して、したがって、\(f (p') = p \in {S_2}^`\)、したがって、\(p' \in f^{-1} ({S_2}^`)\)、したがって、\(p = f (p') \in f \circ f^{-1} ({S_2}^`)\)。
したがって、\({S_2}^` \subseteq f \circ f^{-1} ({S_2}^`)\)。
したがって、\(f \circ f^{-1} ({S_2}^`) = {S_2}^`\)。
