2022年11月6日日曜日

169: プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）レンジ（値域）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って

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プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）レンジ（値域）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）レンジ（値域）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 記述


任意のセット（集合）たちS1,S2、任意のマップ（写像）f:S1→S2、任意のサブセット（部分集合）S3⊆S2に対して、f∘f−1(S3)=S3、もしも、S3⊆f(S1)である場合、そしてその場合に限って。

2: 証明


S3⊆f(S1)だと仮定する。任意のp∈f∘f−1(S3)に対して、p∈S3、プリイメージ（前像）の定義によって。任意のp∈S3に対して、S3⊆f(S1)なので、f−1(p)≠∅、そして、f(f−1(p))=p、プリイメージ（前像）の定義によって、したがって、p∈f∘f−1(S3)。

f∘f−1(S3)=S3だと仮定する。S3⊆f(S1)でないと仮定する。以下を満たすp∈S3、つまり、p∉f(S1)、があることになる。f−1(p)=∅、それは、p∉f∘f−1(S3)を意味することになる、したがって、p∉S3、矛盾。

3: 注


不注意に、当該条件をチェックすることなくf∘f−1(S3)=S3だと結論しないことが重要である。

参考資料
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