もしも、トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、マップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T_2\)に対して、\(f^{-1} (C)\)がクローズド（閉）であれば、\(f\)はコンティヌアス（連続）である。
2: 証明
任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T_2\)に対して、\(f^{-1} (C)\)はクローズド（閉）であると仮定する。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)に対して、\(T_2 \setminus U\)はクローズド（閉）である。\(f^{-1} (T_2 \setminus U)\)はクローズド（閉）である。\(f^{-1} (U) = T_1 \setminus f^{-1} (T_2 \setminus U)\)、オープン（開）。したがって、任意のオープンセット（開集合）のプリイメージ（前像）がオープン（開）なので、\(f\)はコンティヌアス（連続）である。
