389: もしも、トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である

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もしも、トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、マップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のマップ（写像）$f:T_1\to T_2$に対して、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T_2$に対して、$f^{-1}(C)$がクローズド（閉）であれば、$f$はコンティヌアス（連続）である。

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2: 証明

任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T_2$に対して、$f^{-1}(C)$はクローズド（閉）であると仮定する。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$に対して、$T_2\setminus U$はクローズド（閉）である。$f^{-1}(T_2\setminus U)$はクローズド（閉）である。$f^{-1}(U)=T_1\setminus f^{-1}(T_2\setminus U)$、オープン（開）。したがって、任意のオープンセット（開集合）のプリイメージ（前像）がオープン（開）なので、$f$はコンティヌアス（連続）である。

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参考資料

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