2022年11月13日日曜日

391: サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合

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サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合、ことの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のセット（集合）たちS1,S2、任意のマップ（写像）f:S1→S2、任意のサブセット（部分集合）S3⊆S1に対して、f−1∘f(S3)=S3、もしも、fがf(S3)に関してインジェクティブ（単射）である場合、それが意味するのは、任意のp∈f(S3)に対して、f−1(p)が1要素セット（集合）であること。

2: 証明


fはf(S3)に関してインジェクティブ（単射）であると仮定する。任意のp∈f−1∘f(S3)に対して、f(p)∈f(S3)、プリイメージ（前像）の定義によって、それが意味するのは、以下を満たすあるp′∈S3 、つまり、f(p′)=f(p)、があるということ、しかし、f−1(f(p))は1要素をセット（集合）なので、p′=p、したがって、p∈S3。任意のp∈S3に対して、f(p)∈f(S3)、それが意味するのは、p∈f−1∘f(S3)、プリイメージ（前像）の定義によって。

3: 注


不注意に、当該条件をチェックすることなく、f−1∘f(S3)=S3だと結論しないことが重要である。

当該条件は必要条件ではない; 実のところ、問題は、本当は、インジェクティブ（単射）であることではなく、f−1∘f(S3)⊆S3であることであり、それは必要条件である; インジェクティブ（単射）であることは単にf−1∘f(S3)⊆S3であることを保証する典型的な1ケースである。

当該条件は、'f(S3)に関して'であって、"S3に関して"ではない: 当該条件は、f|S3:S3→S2のインジェクティビティ（単射性）についてではない。

参考資料
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