サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S_3 \subseteq S_1\)に対して、\(f^{-1} \circ f (S_3) = S_3\)、もしも、\(f\)が\(f (S_3)\)に関してインジェクティブ（単射）である場合、それが意味するのは、任意の\(p \in f (S_3)\)に対して、\(f^{-1} (p)\)が1要素セット（集合）であること。
2: 証明
\(f\)は\(f (S_3)\)に関してインジェクティブ（単射）であると仮定する。任意の\(p \in f^{-1} \circ f (S_3)\)に対して、\(f (p) \in f (S_3)\)、プリイメージ（前像）の定義によって、それが意味するのは、以下を満たすある\(p' \in S_3\) 、つまり、\(f (p') = f (p)\)、があるということ、しかし、\(f^{-1} (f (p))\)は1要素をセット（集合）なので、\(p' = p\)、したがって、\(p \in S_3\)。任意の\(p \in S_3\)に対して、\(f (p) \in f (S_3)\)、それが意味するのは、\(p \in f^{-1} \circ f (S_3)\)、プリイメージ（前像）の定義によって。
3: 注
不注意に、当該条件をチェックすることなく、\(f^{-1} \circ f (S_3) = S_3\)だと結論しないことが重要である。
当該条件は必要条件ではない; 実のところ、問題は、本当は、インジェクティブ（単射）であることではなく、\(f^{-1} \circ f (S_3) \subseteq S_3\)であることであり、それは必要条件である; インジェクティブ（単射）であることは単に\(f^{-1} \circ f (S_3) \subseteq S_3\)であることを保証する典型的な1ケースである。
当該条件は、'\(f (S_3)\)に関して'であって、"\(S_3\)に関して"ではない: 当該条件は、\(f|_{S_3}: S_3 \rightarrow S_2\)のインジェクティビティ（単射性）についてではない。
