トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、もしも、以下を満たす、\(T_1\)のオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha \subseteq T_1\}, \cup_{\alpha} U_\alpha = T_1\)、つまり、各\(f|_{U_\alpha}: U_\alpha \rightarrow T_2\)がコンティヌアス（連続）である、がある場合、\(f\)はコンティヌアス（連続）である。
2: 証明
任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)に対して、\({f|_{U_\alpha}}^{-1} (U)\)は、\(U_\alpha\)上でオープン（開）であり、\(T_1\)上でそうである、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。\(f^{-1} (U) = \cup_\alpha {f|_{U_\alpha}}^{-1} (U)\)、なぜなら、任意の\(p \in f^{-1} (U)\)に対して、\(f (p) \in U\)、しかし、\(p \in \cup_\alpha U_\alpha\)、したがって、ある\(\alpha\)に対して\(f|_{U_\alpha} (p) \in U\)、\(p \in {f|_{U_\alpha}}^{-1} (U)\); 任意の\(p \in \cup_\alpha {f|_{U_\alpha}}^{-1} (U)\)に対して、ある\(\alpha\)に対して\(p \in {f|_{U_\alpha}}^{-1} (U)\)、したがって、\(f|_{U_\alpha} (p) \in U\)、したがって、\(f (p) \in U\)、したがって、\(p \in f^{-1} (U)\)。したがって、\(f^{-1} (U)\)は、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）としてオープンである。
