387: トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合

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トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のマップ（写像）$f:T_1\to T_2$に対して、もしも、以下を満たす、$T_1$のオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }\subseteq T_1\},{\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }=T_1$、つまり、各$f{|}_{U_{\alpha }}:U_{\alpha }\to T_2$がコンティヌアス（連続）である、がある場合、$f$はコンティヌアス（連続）である。

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2: 証明

任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$に対して、${f{|}_{U_{\alpha }}}^{-1}(U)$は、$U_{\alpha }$上でオープン（開）であり、$T_1$上でそうである、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。$f^{-1}(U)={\cup }_{\alpha }{f{|}_{U_{\alpha }}}^{-1}(U)$、なぜなら、任意の$p\in f^{-1}(U)$に対して、$f(p)\in U$、しかし、$p\in {\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$、したがって、ある$\alpha$に対して$f{|}_{U_{\alpha }}(p)\in U$、$p\in {f{|}_{U_{\alpha }}}^{-1}(U)$; 任意の$p\in {\cup }_{\alpha }{f{|}_{U_{\alpha }}}^{-1}(U)$に対して、ある$\alpha$に対して$p\in {f{|}_{U_{\alpha }}}^{-1}(U)$、したがって、$f{|}_{U_{\alpha }}(p)\in U$、したがって、$f(p)\in U$、したがって、$p\in f^{-1}(U)$。したがって、$f^{-1}(U)$は、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）としてオープンである。

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参考資料

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