トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）の有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、もしも、以下を満たす、\(T_1\)のある有限数クローズドカバー（閉被覆）\(\{C_i \subseteq T_1\}, \cup_{i} C_i = T_1\)、つまり、各\(f|_{C_i}: C_i \rightarrow T_2\)がコンティヌアス（連続）である、がある場合、\(f\)はコンティヌアス（連続）である。
2: 証明
任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T_2\)に対して、\({f|_{C_i}}^{-1} (C)\)は、\(C_i\)上でコンティヌアス（連続）であり、\(T_1\)上でそうである、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題によって。\(f^{-1} (C) = \cup_i {f|_{C_i}}^{-1} (C)\)、なぜなら、任意の\(p \in f^{-1} (C)\)に対して、\(f (p) \in C\)、しかし、\(p \in \cup_i C_i\)、したがって、ある\(i\)に対して\(f|_{C_i} (p) \in C\)、\(p \in {f|_{C_i}}^{-1} (C)\); 任意の\(p \in \cup_i {f|_{C_i}}^{-1} (C)\)に対して、ある\(i\)に対して\(p \in {f|_{C_i}}^{-1} (C)\)、したがって、\(f|_{C_i} (p) \in C\)、したがって、\(f (p) \in C\)、したがって、\(p \in f^{-1} (C)\)。したがって、\(f^{-1} (C)\)は、クローズドセット（閉集合）たちの有限数ユニオン（和集合）としてクローズド（閉）である。もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、\(f\)はコンティヌアス（連続）である。
