388: トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）の有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合

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トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）の有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題を認めている。
• 読者は、もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のマップ（写像）$f:T_1\to T_2$に対して、もしも、以下を満たす、$T_1$のある有限数クローズドカバー（閉被覆）$\{C_i\subseteq T_1\},{\cup }_i{C}_i=T_1$、つまり、各$f{|}_{C_i}:C_i\to T_2$がコンティヌアス（連続）である、がある場合、$f$はコンティヌアス（連続）である。

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2: 証明

任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T_2$に対して、${f{|}_{C_i}}^{-1}(C)$は、$C_i$上でコンティヌアス（連続）であり、$T_1$上でそうである、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題によって。$f^{-1}(C)={\cup }_i{f{|}_{C_i}}^{-1}(C)$、なぜなら、任意の$p\in f^{-1}(C)$に対して、$f(p)\in C$、しかし、$p\in {\cup }_i{C}_i$、したがって、ある$i$に対して$f{|}_{C_i}(p)\in C$、$p\in {f{|}_{C_i}}^{-1}(C)$; 任意の$p\in {\cup }_i{f{|}_{C_i}}^{-1}(C)$に対して、ある$i$に対して$p\in {f{|}_{C_i}}^{-1}(C)$、したがって、$f{|}_{C_i}(p)\in C$、したがって、$f(p)\in C$、したがって、$p\in f^{-1}(C)$。したがって、$f^{-1}(C)$は、クローズドセット（閉集合）たちの有限数ユニオン（和集合）としてクローズド（閉）である。もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、$f$はコンティヌアス（連続）である。

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参考資料

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