トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサムの定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( S\): \(\subseteq T_1\)
\( f\): \(: S \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\( T_1 + T_2\): \(= \text{ 当該トポロジカルサム }\)
\( \sim\): \(\in \{T_1 + T_2 \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)で、以下を満たすもの、\(\forall t, t' \in T_1 + T_2 (t \sim t' \iff (t = t' \lor t' = f (t) \lor t = f (t') \lor f (t) = f (t')))\)
\( (T_1 + T_2) / \sim\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）セット（集合） }\)
\( g: T_1 + T_2 \to (T_1 + T_2) / \sim, t \mapsto t' \in (T_1 + T_2) / \sim \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } t \in t'\)
\(*T_2 \cup_f T_1\): \(= (T_1 + T_2) / \sim\)で、\(g\)に関するクオシエント（商）トポロジーを持つもの
コンディションたち:
//
\(T_2 \cup_f T_1\)は、"\(T_1\)を\(f\)介して\(T_2\)へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）"と呼ばれる。
2: 注
\(\sim\)は本当にあるイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう。
1) \(\forall t \in T_1 + T_2 (t \sim t)\): リフレクシビティ（反射性）: \(t = t\)。
2) \(\forall t, t' \in T_1 + T_2 (t \sim t' \implies t' \sim t)\): シンメトリー（対称性）: もしも、\(t = t'\)である場合、\(t' = t\)、したがって、\(t' \sim t\); もしも、\(t' = f (t)\)である場合、\(t' \sim t\); もしも、\(t = f (t')\)である場合、\(t' \sim t\); もしも、\(f (t) = f (t')\)である場合、\(f (t') = f (t)\)、したがって、\(t' \sim t\); したがって、いずれにせよ、\(t' \sim t\)。
3) \(\forall t, t', t'' \in T_1 + T_2 ((t \sim t' \land t' \sim t'')\implies t \sim t'')\): トランジティビティ（推移性）: もしも、\(t = t'\)または\(t' = t''\)である場合、\(t \sim t''\)は明らかである、したがって、他のケースたちを考えよう、これ以降は; もしも、\(t' = f (t)\)である場合、可能なのは\(t' = f (t'')\)だけである（なぜなら、\(t'' = f (t')\)は不可能である、なぜなら、\(t' \in T_2\); f (t') = f (t'')は不可能である、なぜなら、\(t' \in T_2\)）、そして、\(f (t) = t' = f (t'')\)であるから、\(t \sim t''\); もしも、\(t = f (t')\)である場合、可能なのは\(t'' = f (t')\)および\(f (t') = f (t'')\)だけである（なぜなら、\(t' = f (t'')\)は不可能である、なぜなら、\(t' \in S\)）、そして、もしも、\(t'' = f (t')\)である場合、\(t = f (t') = t''\)、したがって、\(t \sim t''\)、そして、もしも、\(f (t') = f (t'')\)である場合、\(t = f (t') = f (t'')\)、したがって、\(t \sim t''\); もしも、\(f (t) = f (t')\)である場合、可能なのは\(t'' = f (t')\)および\(f (t') = f (t'')\)だけである（なぜなら、\(t' = f (t'')\)は不可能である、なぜなら、\(t' \in S\)）、そして、もしも、\(t'' = f (t')\)である場合、\(t'' = f (t') = f (t)\)、したがって、\(t \sim t''\); もしも、\(f (t') = f (t'')\)である場合、\(f (t) = f (t') = f (t'')\)、したがって、\(t \sim t''\); したがって、いずれにせよ、\(t \sim t''\)。
\(g\)は妥当である、なぜなら、各\(t \in T_1 + T_2\)に対して、\(t' \in (T_1 + T_2) / \sim\)で\(t \in t'\)を満たすものはユニークに決定される、なぜなら、\(\sim\)はあるイクイバレンスリレーション（同値関係）である。
\(g\)は本当にあるサージェクション（全射）である、なぜなら、各\(t' \in (T_1 + T_2) / \sim\)に対して、\(t'\)のある要素がある。
したがって、\(T_2 \cup_f T_1\)は妥当である。
