400: セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジー

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セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のセット（集合）$S$、任意のサージェクション（全射）$f:T\to S$に対して、$S$上に定義された以下を満たすトポロジー、つまり、任意のサブセット（部分集合）$U\subseteq S$はオープン（開）である、もしも、$f^{-1}(U)$がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って

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2: 注

当該クオシエント（商）トポロジーは本当にトポロジーである、なぜなら、$f^{-1}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }$、したがって、$\mathrm{\varnothing }\subseteq S$はオープン（開）である; $f^{-1}(S)=T$、したがって、$S\subseteq S$はオープン（開）である; 任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のオープンセット（開集合）たち$\{U_{\alpha }\}$に対して、$f^{-1}({\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha })={\cup }_{\alpha }{f}^{-1}(U_{\alpha })$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、それはオープン（開）である; 任意の有限数のオープンセット（開集合）たち$\{U_i\}$に対して、$f^{-1}({\cap }_i{U}_i)={\cap }_i(f^{-1}(U_i))$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、それはオープン（開）である。

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参考資料

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