セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のセット（集合）\(S\)、任意のサージェクション（全射）\(f: T \rightarrow S\)に対して、\(S\)上に定義された以下を満たすトポロジー、つまり、任意のサブセット（部分集合）\(U \subseteq S\)はオープン（開）である、もしも、\(f^{-1} (U)\)がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って
2: 注
当該クオシエント（商）トポロジーは本当にトポロジーである、なぜなら、\(f^{-1} (\emptyset) = \emptyset\)、したがって、\(\emptyset \subseteq S\)はオープン（開）である; \(f^{-1} (S) = T\)、したがって、\(S \subseteq S\)はオープン（開）である; 任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のオープンセット（開集合）たち\(\{U_\alpha\}\)に対して、\(f^{-1} (\cup_\alpha U_\alpha) = \cup_\alpha f^{-1} (U_\alpha)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、それはオープン（開）である; 任意の有限数のオープンセット（開集合）たち\(\{U_i\}\)に対して、\(f^{-1} (\cap_i U_i) = \cap_i (f^{-1} (U_i))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、それはオープン（開）である。
