セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、トポロジー\(O_T\)を持つもの
\( S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( f\): \(: T \to S\), \(\in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
\(*O_S\): \(\in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall S^` \subseteq S (S^` \in O_S \iff f^{-1} (S^`) \in O_T)\)
//
2: 注
当該クオシエント（商）トポロジーは本当にトポロジーである、なぜなら、\(f^{-1} (\emptyset) = \emptyset\)、したがって、\(\emptyset \subseteq S\)はオープン（開）である; \(f^{-1} (S) = T\)、したがって、\(S \subseteq S\)はオープン（開）である; 任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のオープンセット（開集合）たち\(\{U_\alpha\}\)に対して、\(f^{-1} (\cup_\alpha U_\alpha) = \cup_\alpha f^{-1} (U_\alpha)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、それはオープン（開）である; 任意の有限数のオープンセット（開集合）たち\(\{U_i\}\)に対して、\(f^{-1} (\cap_i U_i) = \cap_i (f^{-1} (U_i))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、それはオープン（開）である。
ある典型的ケースは、\(\sim\)は\(T\)上の任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）、\(T / \sim\)は当該クオシエント（商）セット（集合）、\(f: T \to T / \sim\)は\(T\)の\(\sim\)に関するクラシフィケーション（クラス分け）マップ（写像）であるもの、そして、\(T / \sim\)上の\(f\)に関するクオシエント（商）トポロジーは、"\(T / \sim\)上の\(\sim\)に関するクオシエント（商）トポロジー"と呼ばれる。
