402: クオシエントトポロジーのマップ（写像）はクオシエントマップ（写像）である

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クオシエントトポロジーのマップ（写像）はクオシエントマップ（写像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）を知っている。
• 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、クオシエント（商）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のクオシエントトポロジーのマップ（写像）はクオシエントマップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のセット（集合）$S$、任意のサージェクション（全射）$f:T\to S$、$S$上の$f$に関するクオシエントトポロジー$O$に対して、$f$はクオシエントマップ（写像）である。

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2: 証明

$f$は明らかにコンティヌアス（連続）サージェクション（全射）である、クオシエントトポロジーの定義によって。任意のサブセット（部分集合）$U\subseteq S$に対して、もしも、$f^{-1}(U)$がオープン（開）であれば、$U$はオープン（開）である、クオシエントトポロジーの定義によって。

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参考資料

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