403: クオシエントトポロジースペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエントマップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って|T.B.P.日本語版

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クオシエントトポロジースペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエントマップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

開始コンテキスト

読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を得る。
読者は、クオシエント（商）マップ（写像）の定義を得る。
読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を得る。
読者は、任意のマップ（写像）の、コドメイン（余域）マイナス任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域）マイナスそのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）

T_{1}

、任意のクオシエント（商）マップ（写像）

f : T_{1} \to T_{2}

に関する任意のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）

T_{2}

に対して、任意のサブセット（部分集合）

C \subseteq T_{2}

はクローズド（閉）である、もしも、

f^{- 1} (C)

がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って。

2: 証明

f^{- 1} (C)

はクローズド（閉）だと仮定する。

f^{- 1} (T_{2} ∖ C) = T_{1} ∖ f^{- 1} (C)

、任意のマップ（写像）の、コドメイン（余域）マイナス任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域）マイナスそのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題という命題によって。

T_{1} ∖ f^{- 1} (C)

はオープン（開）である、したがって、

T_{2} ∖ C

はオープン（開）である、クオシエント（商）マップ（写像）の定義によって、したがって、

C

はクローズド（閉）である。

C

はクローズド（閉）であると仮定する。

T_{2} ∖ C

はオープン（開）である。

f^{- 1} (T_{2} ∖ C) = T_{1} ∖ f^{- 1} (C)

は前と同様であり、オープン（開）である、オープンセット（開集合）のコンティヌアス（連続）下のプリイメージ（前像）として、したがって、

f^{- 1} (C)