クオシエントトポロジースペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエントマップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)、任意のクオシエント（商）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に関する任意のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）\(T_2\)に対して、任意のサブセット（部分集合）\(C \subseteq T_2\)はクローズド（閉）である、もしも、\(f^{-1} (C)\)がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(f^{-1} (C)\)はクローズド（閉）だと仮定する。\(f^{-1} (T_2 \setminus C) = T_1 \setminus f^{-1} (C)\)、任意のマップ（写像）の、コドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題という命題によって。\(T_1 \setminus f^{-1} (C)\)はオープン（開）である、したがって、\(T_2 \setminus C\)はオープン（開）である、クオシエント（商）マップ（写像）の定義によって、したがって、\(C\)はクローズド（閉）である。
\(C\)はクローズド（閉）であると仮定する。\(T_2 \setminus C\)はオープン（開）である。\(f^{-1} (T_2 \setminus C) = T_1 \setminus f^{-1} (C)\)は前と同様であり、オープン（開）である、オープンセット（開集合）のコンティヌアス（連続）下のプリイメージ（前像）として、したがって、\(f^{-1} (C)\)はクローズド（閉）である。
