クオシエント（商）トポロジーはマップ（写像）をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のセット（集合）、当該トポロジカルスペース（空間）から当該セット（集合）への任意のサージェクション（全射）に対して、当該クオシエント（商）トポロジーは当該マップ（写像）をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のセット（集合）\(S\)、任意のマップ（写像）\(f: T \rightarrow S\)に対して、\(S\)上の\(f\)に関するクオシエント（商）トポロジー\(O\)は、\(f\)をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーである、それが意味するのは、\(O\)は単にある最も密なトポロジーであるだけでなく、\(f\)をコンティヌアス（連続）にする任意のトポロジーは\(O\)より疎である。
2: 証明
\(O\)に等しくないが\(O\)より疎ではない任意のトポロジー\(O'\)は、\(O\)内にないあるオープンセット（開集合）\(U\)を持つ。\(O\)の定義によって、\(f^{-1} (U)\)はオープン（開）でない。したがって、\(f\)はコンティヌアス（連続）ではない。
