401: クオシエント（商）トポロジーはマップ（写像）をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーである

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クオシエント（商）トポロジーはマップ（写像）をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のセット（集合）、当該トポロジカルスペース（空間）から当該セット（集合）への任意のサージェクション（全射）に対して、当該クオシエント（商）トポロジーは当該マップ（写像）をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のセット（集合）$S$、任意のマップ（写像）$f:T\to S$に対して、$S$上の$f$に関するクオシエント（商）トポロジー$O$は、$f$をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーである、それが意味するのは、$O$は単にある最も密なトポロジーであるだけでなく、$f$をコンティヌアス（連続）にする任意のトポロジーは$O$より疎である。

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2: 証明

$O$に等しくないが$O$より疎ではない任意のトポロジー$O^{\prime }$は、$O$内にないあるオープンセット（開集合）$U$を持つ。$O$の定義によって、$f^{-1}(U)$はオープン（開）でない。したがって、$f$はコンティヌアス（連続）ではない。

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参考資料

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