397: ポイントのイメージ（像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）上にあるとき、ポイントはサブセット（部分集合）上にある、もしも、マップ（写像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合

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ポイントのイメージ（像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）上にあるとき、ポイントはサブセット（部分集合）上にある、もしも、マップ（写像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、任意のポイントのイメージ（像）が任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）上にあるとき、そのポイントはそのサブセット（部分集合）上にある、もしも、そのマップ（写像）が、そのサブセット（部分集合）のイメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、任意のポイント$p\in S_1$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq S_1$に対して、$f(p)\in f(S)$であるとき、$p\in S$、もしも、$f$が$f(S)$に関してインジェクティブ（単射）である場合、それが意味するのは、任意の$q\in f(S)$に対して、$f^{-1}(q)$は1要素集合であるということ。

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2: 証明

$f(p)\in f(S)$であるから、以下を満たすある$p^{\prime }\in S$、つまり、$f(p^{\prime })=f(p)$、がある。$f^{-1}(f(p))$は1要素セット（集合）であるから、$p^{\prime }=p$、したがって、$p\in S$。

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3: 注

勿論、$f$は、全体としてインジェクティブ（単射）であれば、当該条件を満たす。

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参考資料

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