396: クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティ

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クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、クウォシェント（商）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、クウォシェント（商）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間サージェクション（全射）は、クウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは元のマップ（写像）のコドメイン（余域）から 任意の追加のトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の後の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限って、の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のサージェクション（全射）$f_1:T_1\to T_2$に対して、$f_1$はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のトポロジカルスペース（空間）$T_3$および任意のマップ（写像）$f_2:T_2\to T_3$に対して、$f_2$がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、$f_2\circ f_1:T_1\to T_3$がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$f_1$はクウォシェント（商）マップ（写像）であると仮定する。$f_2$はコンティヌアス（連続）であると仮定する。すると、$f_2\circ f_1$は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのコンパウンド（合成）としてコンティヌアス（連続）である。$f_2\circ f_1$はコンティヌアス（連続）であると仮定する。すると、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_3$に対して、${f_2\circ f_1}^{-1}(U)={f_1}^{-1}\circ {f_2}^{-1}(U)={f_1}^{-1}({f_2}^{-1}(U))$はオープン（開）である。クウォシェント（商）マップ（写像）の定義によって、${f_2}^{-1}(U)$はオープン（開）である、したがって、$f_2$はコンティヌアス（連続）である。

任意のトポロジカルスペース（空間）$T_3$および任意のマップ（写像）$f_2:T_2\to T_3$に対して、$f_2$がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、$f_2\circ f_1:T_1\to T_3$がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、と仮定する。$T_3=T_2$と取り、$f_2:T_2\to T_2$をアイデンティティマップ（恒等写像）、コンティヌアス（連続）、として取ろう。したがって、$f_2\circ f_1=f_1:T_1\to T_2$はコンティヌアス（連続）である。$T_3:=T_1/f_1$と取ろう、それは。$T_1$のクウォシェント（商）スペース（空間）であり、任意のペア$p_1,p_2\in T_1,f_1(p_1)=f_1(p_2)$が同定されるものである。$f_2:f_1(p)\mapsto [p]$と取ろう、それは明らかにバイジェクティブ（全単射）である。$f_2\circ f_1$は、実際のところ当該クウォシェント（商）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）であり、コンティヌアス（連続）である、なぜなら、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_3$に対して、$(f_2\circ f_1{)}^{-1}(U)$はオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーの定義によって。したがって、仮定によって、$f_2$はコンティヌアス（連続）である。さて、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_2$に対して、もしも、${f_1}^{-1}(S)$がオープン（開）であれば、$f_2\circ f_1({f_1}^{-1}(S))$はオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーによって、なぜなら、${f_1}^{-1}(S)=(f_2\circ f_1{)}^{-1}(f_2\circ f_1({f_1}^{-1}(S))$、その理由は、任意の$p\in {f_1}^{-1}(S)$に対して、$f_2\circ f_1(p)\in f_2\circ f_1({f_1}^{-1}(S))$、したがって、$p\in (f_2\circ f_1{)}^{-1}(f_2\circ f_1({f_1}^{-1}(S))$、そして、任意の$p\in (f_2\circ f_1{)}^{-1}(f_2\circ f_1({f_1}^{-1}(S))$に対して、$f_2\circ f_1(p)\in f_2\circ f_1({f_1}^{-1}(S))$、しかし、$f_2$はバイジェクティブ（全単射）であるので、$f_1(p)\in f_1({f_1}^{-1}(S))$、しかし、$f_1$はサージェクティブ（全射）であるので、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、$f_1\circ {f_1}^{-1}(S)=S$、したがって、$f_1(p)\in S$。$S={f_2}^{-1}((f_2\circ f_1({f_1}^{-1}(S)))$、なぜなら、$f_2$はバイジェクティブ（全単射）であるから、しかし、$f_2$はコンティヌアス（連続）であるので、$S$はオープン（開）である。

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参考資料

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