クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クウォシェント（商）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間サージェクション（全射）は、クウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは元のマップ（写像）のコドメイン（余域）から 任意の追加のトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の後の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限って、の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のサージェクション（全射）\(f_1: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、\(f_1\)はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_3\)および任意のマップ（写像）\(f_2: T_2 \rightarrow T_3\)に対して、\(f_2\)がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、\(f_2 \circ f_1: T_1 \rightarrow T_3\)がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(f_1\)はクウォシェント（商）マップ（写像）であると仮定する。\(f_2\)はコンティヌアス（連続）であると仮定する。すると、\(f_2 \circ f_1\)は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのコンパウンド（合成）としてコンティヌアス（連続）である。\(f_2 \circ f_1\)はコンティヌアス（連続）であると仮定する。すると、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_3\)に対して、\({f_2 \circ f_1}^{-1} (U) = {f_1}^{-1} \circ {f_2}^{-1} (U) = {f_1}^{-1} ({f_2}^{-1} (U))\)はオープン（開）である。クウォシェント（商）マップ（写像）の定義によって、\({f_2}^{-1} (U)\)はオープン（開）である、したがって、\(f_2\)はコンティヌアス（連続）である。
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_3\)および任意のマップ（写像）\(f_2: T_2 \rightarrow T_3\)に対して、\(f_2\)がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、\(f_2 \circ f_1: T_1 \rightarrow T_3\)がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、と仮定する。\(T_3 = T_2\)と取り、\(f_2: T_2 \rightarrow T_2\)をアイデンティティマップ（恒等写像）、コンティヌアス（連続）、として取ろう。したがって、\(f_2 \circ f_1 = f_1: T_1 \rightarrow T_2\)はコンティヌアス（連続）である。\(T_3 := T_1 / f_1\)と取ろう、それは。\(T_1\)のクウォシェント（商）スペース（空間）であり、任意のペア\(p_1, p_2 \in T_1, f_1 (p_1) = f_1 (p_2)\)が同定されるものである。\(f_2: f_1 (p) \mapsto [p]\)と取ろう、それは明らかにバイジェクティブ（全単射）である。\(f_2 \circ f_1\)は、実際のところ当該クウォシェント（商）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）であり、コンティヌアス（連続）である、なぜなら、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_3\)に対して、\((f_2 \circ f_1)^{-1} (U)\)はオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーの定義によって。したがって、仮定によって、\(f_2\)はコンティヌアス（連続）である。さて、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_2\)に対して、もしも、\({f_1}^{-1} (S)\)がオープン（開）であれば、\(f_2 \circ f_1 ({f_1}^{-1} (S))\)はオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーによって、なぜなら、\({f_1}^{-1} (S) = (f_2 \circ f_1)^{-1} (f_2 \circ f_1 ({f_1}^{-1} (S))\)、その理由は、任意の\(p \in {f_1}^{-1} (S)\)に対して、\(f_2 \circ f_1 (p) \in f_2 \circ f_1 ({f_1}^{-1} (S))\)、したがって、\(p \in (f_2 \circ f_1)^{-1} (f_2 \circ f_1 ({f_1}^{-1} (S))\)、そして、任意の\(p \in (f_2 \circ f_1)^{-1} (f_2 \circ f_1 ({f_1}^{-1} (S))\)に対して、\(f_2 \circ f_1 (p) \in f_2 \circ f_1 ({f_1}^{-1} (S))\)、しかし、\(f_2\)はバイジェクティブ（全単射）であるので、\(f_1 (p) \in f_1 ({f_1}^{-1} (S))\)、しかし、\(f_1\)はサージェクティブ（全射）であるので、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(f_1 \circ {f_1}^{-1} (S) = S\)、したがって、\(f_1 (p) \in S\)。\(S = {f_2}^{-1} ((f_2 \circ f_1 ({f_1}^{-1} (S)))\)、なぜなら、\(f_2\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、しかし、\(f_2\)はコンティヌアス（連続）であるので、\(S\)はオープン（開）である。
