2つのメトリック（計量）たちで互いに条件を満たしているものたちは同一トポロジーを定義することの記述/証明
話題
About: メトッリックスペース（計量空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、セット（集合）上の任意の2つのメトリック（計量）たちで互いにある条件を満たすものたちは同一トポロジーを定義するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S\)、\(S\)上の以下の条件を満たす任意のメトリック（計量）たち\(dist_1\)および\(dist_2\)、つまり、任意のポイント\(p \in S\)および任意の数字\(0 \lt \epsilon\)に対して、以下を満たすある数字\(0 \lt \delta\)、つまり、\(dist_1 (p, p') \lt \delta\)を満たす任意の\(p'\)に対して、\(dist_2 (p, p') \lt \epsilon\)、および\(dist_2 (p, p') \lt \delta\)を満たす任意の\(p'\)に対して、\(dist_1 (p, p') \lt \epsilon\)、がある、は同一トポロジーを定義する。
2: 証明
\(U\)は\(dist_1\)に関してオープン（開）であると仮定する。任意のポイント\(p \in S\)に、\(dist_1\)に関するオープンボール（開球）\(B_{1-p-\epsilon} \subseteq U\)がある。ある\(0 \lt \delta\)があって\(B_{2-p-\delta} \subseteq B_{1-p-\epsilon}\)、ここで、\(B_{2-p-\delta}\)は\(dist_2\)に関するオープンボール（開球）、であること示そう。\(\delta\)を、\(p\)および\(\epsilon\)に関して指定条件を満たすに取ろう。任意の\(p' \in B_{2-p-\delta}\)に対して、\(dist_2 (p, p') \lt \delta\)、したがって、\(dist_1 (p, p') \lt \epsilon\)、したがって、\(p' \in B_{1-p-\epsilon}\)、したがって、\(B_{2-p-\delta} \subseteq B_{1-p-\epsilon} \subseteq U\)。したがって、\(U\)は\(dist_2\)に関してオープン（開）である。
対称性によって、\(dist_2\)に関してオープン（開）である任意の\(U\)は\(dist_1\)に関してオープン（開）である。
