192: 2つのメトリック（計量）たちで互いに条件を満たしているものたちは同一トポロジーを定義する

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2つのメトリック（計量）たちで互いに条件を満たしているものたちは同一トポロジーを定義することの記述/証明

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話題

About: メトッリックスペース（計量空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、メトリックスペース（計量空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）に対して、セット（集合）上の任意の2つのメトリック（計量）たちで互いにある条件を満たすものたちは同一トポロジーを定義するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S$、$S$上の以下の条件を満たす任意のメトリック（計量）たち$dis{t}_1$および$dis{t}_2$、つまり、任意のポイント$p\in S$および任意の数字$0<ϵ$に対して、以下を満たすある数字$0<\delta$、つまり、$dis{t}_1(p,p^{\prime })<\delta$を満たす任意の$p^{\prime }$に対して、$dis{t}_2(p,p^{\prime })<ϵ$、および$dis{t}_2(p,p^{\prime })<\delta$を満たす任意の$p^{\prime }$に対して、$dis{t}_1(p,p^{\prime })<ϵ$、がある、は同一トポロジーを定義する。

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2: 証明

$U$は$dis{t}_1$に関してオープン（開）であると仮定する。任意のポイント$p\in S$に、$dis{t}_1$に関するオープンボール（開球）$B_{1-p-ϵ}\subseteq U$がある。ある$0<\delta$があって$B_{2-p-\delta }\subseteq B_{1-p-ϵ}$、ここで、$B_{2-p-\delta }$は$dis{t}_2$に関するオープンボール（開球）、であること示そう。$\delta$を、$p$および$ϵ$に関して指定条件を満たすに取ろう。任意の$p^{\prime }\in B_{2-p-\delta }$に対して、$dis{t}_2(p,p^{\prime })<\delta$、したがって、$dis{t}_1(p,p^{\prime })<ϵ$、したがって、$p^{\prime }\in B_{1-p-ϵ}$、したがって、$B_{2-p-\delta }\subseteq B_{1-p-ϵ}\subseteq U$。したがって、$U$は$dis{t}_2$に関してオープン（開）である。

対称性によって、$dis{t}_2$に関してオープン（開）である任意の$U$は$dis{t}_1$に関してオープン（開）である。

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参考資料

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