191: セット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）に包含されている

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セット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）に包含されていることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクションに包含されているという命題の記述と証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1$および$S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、任意のアンカウンタブルかもしれない数の$S_1$のサブセット（部分集合）たち$S_{1_{\alpha }}\subseteq S_1$に対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）$f({\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }})$はサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）たちのインターセクション（共通集合）${\cap }_{\alpha }f(S_{1_{\alpha }})$に包含されている、つまり、$f({\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }})\subseteq {\cap }_{\alpha }f(S_{1_{\alpha }})$。

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2: 証明

任意の$p\in f({\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }})$に対して、$p=f(p^{\prime })$を満たすある$p^{\prime }\in {\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }}$がある、それが意味するのは、各$\alpha$に対して$p^{\prime }\in S_{1_{\alpha }}$。したがって、各$\alpha$に対して$p\in f(S_{1_{\alpha }})$。したがって、$p\in {\cap }_{\alpha }f(S_{1_{\alpha }})$。

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3: 注

$f({\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }})={\cap }_{\alpha }f(S_{1_{\alpha }})$は必ずしも成立しない、別の命題にて証明されているとおり。

$f({\cup }_i{S}_{1_i})={\cup }_{i}f(S_{1_i})$は常に成立する、別の命題にて証明されているとおり。

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参考資料

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