セット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）に包含されていることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクションに包含されているという命題の記述と証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1\)および\(S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、任意のアンカウンタブルかもしれない数の\(S_1\)のサブセット（部分集合）たち\(S_{1_\alpha} \subseteq S_1\)に対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）\(f (\cap_\alpha S_{1_\alpha})\)はサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）たちのインターセクション（共通集合）\(\cap_\alpha f (S_{1_\alpha})\)に包含されている、つまり、\(f (\cap_\alpha S_{1_\alpha}) \subseteq \cap_\alpha f (S_{1_\alpha})\)。
2: 証明
任意の\(p \in f (\cap_\alpha S_{1_\alpha})\)に対して、\(p = f (p')\)を満たすある\(p' \in \cap_\alpha S_{1_\alpha}\)がある、それが意味するのは、各\(\alpha\)に対して\(p' \in S_{1_\alpha}\)。したがって、各\(\alpha\)に対して\(p \in f (S_{1_\alpha})\)。したがって、\(p \in \cap_\alpha f (S_{1_\alpha})\)。
3: 注
\(f (\cap_\alpha S_{1_\alpha}) = \cap_\alpha f (S_{1_\alpha})\)は必ずしも成立しない、別の命題にて証明されているとおり。
\(f (\cup_i S_{1_i}) = \cup_i f (S_{1_i})\)は常に成立する、別の命題にて証明されているとおり。
