193: アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である

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アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）を知っている。
• 読者は、サブスペーストポロジーの定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーを知っている。
• 読者は、トポロジカルサムの定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_1$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f:S\to T_2$、アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）$T_2{\cup }_f{T}_1$に対して、カノニカルマップ（写像）$f_3:T_2\to T_2{\cup }_f{T}_1$はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。

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2: 証明

$f_3$は明らかにインジェクティブ（単射）である。$f_3$はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$f_3:T_2\to T_1+T_2\to T_2{\cup }_f{T}_1$はコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの合成（合成の前者構成要素がそうであるのはトポロジカルサムの定義による; 後者がそうであるのはクオシエント（商）スペース（空間）の定義による）)だから。${f_3}^{\prime }:T_2\to f_3(T_2)$はバイジェクティブ（全単射）でありコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。残る問題は${{f_3}^{\prime }}^{-1}$はコンティニュアス（連続）であるかである。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$に対して、$U=S^{\prime }\cup S^{″}$、ここで、$S^{\prime }=U\cap f(T_1)$で$S^{″}=U\setminus S^{\prime }$。${{{f_3}^{\prime }}^{-1}}^{-1}(U)$は$f_3(T_2)$上でオープン（開）か？${{{f_3}^{\prime }}^{-1}}^{-1}(U)={f_3}^{\prime }(U)={f_3}^{\prime }(S^{\prime })\cup {f_3}^{\prime }(S^{″})$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。${f_3}^{\prime }(S^{\prime })=\{[p]:p\in S^{\prime },[p]=\{f^{-1}(p)\cup \{p\}\}\}$; ${f_3}^{\prime }(S^{″})=S^{″}$。

${{{f_3}^{\prime }}^{-1}}^{-1}(U)$が$f_3(T_2)$上でオープンか否かは、以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U^{\prime }\subset T_2{\cup }_f{T}_1$があるか否かである、つまり、${{{f_3}^{\prime }}^{-1}}^{-1}(U)=U^{\prime }\cap f_3(T_2)$、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、したがって、そうした$U^{\prime }$を定義しよう。$f^{-1}(U)$は$S$上でオープン（開）である、したがって、以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U^{″}\subseteq T_1$がある、つまり、$f^{-1}(U)=U^{″}\cap S$。$U^{\prime }:=(U^{″}\setminus S)\cup {{{f_3}^{\prime }}^{-1}}^{-1}(U)$。$U^{\prime }$は$T_2{\cup }_f{T}_1$上でオープン（開）であることを証明しよう、それは、$f_4^{-1}(U^{\prime })$は$T_1+T_2$上でオープン（開）であるかである、ここで、$f_4:T_1+T_2\to T_2{\cup }_f{T}_1$は当該クウォシェント（商）マップ（写像）である、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義によって、それは、$f_4^{-1}(U^{\prime })\cap T_1$および$f_4^{-1}(U^{\prime })\cap T_2$がオープン（開）であるかである、トポロジカルサムの定義によって。$f_4^{-1}(U^{\prime })\cap T_1=U^{″}$; $f_4^{-1}(U^{\prime })\cap T_2=U$。したがって、$U^{\prime }$は$T_2{\cup }_f{T}_1$上でオープン（開）である。${{{f_3}^{\prime }}^{-1}}^{-1}(U)=U^{\prime }\cap f_3(T_2)$、なぜなら、$U^{\prime }$は$(U^{″}\setminus S)\cup {{{f_3}^{\prime }}^{-1}}^{-1}(U)$、$f_3(T_2)\cap (U^{″}\setminus S)=\mathrm{\varnothing }$であるところ。

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参考資料

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