コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネント\(T_1 \subseteq T\)は、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない。
2: 証明
\(T_1\)はコネクテッド（連結された）であるか？\(T_1\)はコネクテッド（連結された）ではないと仮定しよう。\(T_1 = U_1 \cup U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、ここで、\(U_i\)は\(T_1\)上の空でないオープンセット（開集合）になる。\(U_i = {U_i}' \cap T_1\)、ここで、\({U_i}'\)は\(T\)上のオープンセット（開集合）になる、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。以下を満たす2ポイントたち\(p_1, p_2 \in T_1\)、つまり、\(p_1 \in {U_1}'\)および\(p_2 \in {U_2}'\)、があることになる。\(p_1\)と\(p_2\)はコネクテッド（連結された）であるということになるから、あるコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）\(p_1, p_2 \in T_2 \subseteq T\)があることになる、しかし、実のところ、\(T_2 \subseteq T_1\)、なぜなら、\(T_2\)上の全てのポイントたちは当該イクイバレンス（同値）クラスに属するから。\(T_2 = T_2 \cap ({U_1}' \cup {U_2}') = (T_2 \cap {U_1}') \cup (T_2 \cap {U_2}')\)、なぜなら、\(U_1 \cup U_2\)は\(T_1\)を包含することになるから、したがって、\({U_1}' \cup {U_2}'\)は\(T_2\)を包含することになるから。\({U_1}'\)と\({U_2}'\)は\(T_2\)上で何らのポイントも共有しないだろう、なぜなら、さもなければ、\(U_1\)と\(U_2\)はそのポイントを共有することになるから。したがって、\(T_2\)はコネクテッド（連結された）でないということになる、矛盾、したがって、\(T_1\)はコネクテッド（連結された）である。
\(T_1\)に任意のポイントを追加すると、結果はコネクテッド（連結された）でないトポロジカルサブスペース（部分空間）になる、なぜなら、追加されたポイントは当該イクイバレンス（同値）クラスに属さないから、それが意味するのは、追加されたポイントと\(T_1\)のあるポイントを包含するコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）は存在しないということである、したがって、両ポイントたちを包含する結果サブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）ではあり得ない。
\(T_3\)は、\(T_1\)のあるポイントを包含し、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）であると仮定する。\(T_3\)の全てのポイントたちは当該ポイントのイクイバレンス（同値）クラスに属する、したがって、\(T_3 \subseteq T_1\)、しかし、\(T_1\)はコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）だから、\(T_1 \subseteq T_3\)、したがって、\(T_3 = T_1\)。
3: 注
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントがコネクテッド（連結された）であるというのはそれほど明らかなことではない、なぜなら、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントはコンポーネント内の任意のポイントたちペアのコネクテッド（連結された）性に基づいて定義されていて、それはあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）の存在に関することであるが、そのサブスペース（部分空間）は必ずしも当該コンポーネントではないから; 当該コンポーネントは確かにそうしたコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）であるが、そうしたユニオン（和集合）がコネクテッド（連結された）であるという保証はない、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちの任意のシーケンスであって、シーケンシャルなペア毎にあるポイントを共有するもの、のユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるが。
