202: コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない

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コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネント$T_1\subseteq T$は、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない。

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2: 証明

$T_1$はコネクテッド（連結された）であるか？$T_1$はコネクテッド（連結された）ではないと仮定しよう。$T_1=U_1\cup U_2$、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、$U_i$は$T_1$上の空でないオープンセット（開集合）になる。$U_i={U_i}^{\prime }\cap T_1$、ここで、${U_i}^{\prime }$は$T$上のオープンセット（開集合）になる、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。以下を満たす2ポイントたち$p_1,p_2\in T_1$、つまり、$p_1\in {U_1}^{\prime }$および$p_2\in {U_2}^{\prime }$、があることになる。$p_1$と$p_2$はコネクテッド（連結された）であるということになるから、あるコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）$p_1,p_2\in T_2\subseteq T$があることになる、しかし、実のところ、$T_2\subseteq T_1$、なぜなら、$T_2$上の全てのポイントたちは当該イクイバレンス（同値）クラスに属するから。$T_2=T_2\cap ({U_1}^{\prime }\cup {U_2}^{\prime })=(T_2\cap {U_1}^{\prime })\cup (T_2\cap {U_2}^{\prime })$、なぜなら、$U_1\cup U_2$は$T_1$を包含することになるから、したがって、${U_1}^{\prime }\cup {U_2}^{\prime }$は$T_2$を包含することになるから。${U_1}^{\prime }$と${U_2}^{\prime }$は$T_2$上で何らのポイントも共有しないだろう、なぜなら、さもなければ、$U_1$と$U_2$はそのポイントを共有することになるから。したがって、$T_2$はコネクテッド（連結された）でないということになる、矛盾、したがって、$T_1$はコネクテッド（連結された）である。

$T_1$に任意のポイントを追加すると、結果はコネクテッド（連結された）でないトポロジカルサブスペース（部分空間）になる、なぜなら、追加されたポイントは当該イクイバレンス（同値）クラスに属さないから、それが意味するのは、追加されたポイントと$T_1$のあるポイントを包含するコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）は存在しないということである、したがって、両ポイントたちを包含する結果サブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）ではあり得ない。

$T_3$は、$T_1$のあるポイントを包含し、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）であると仮定する。$T_3$の全てのポイントたちは当該ポイントのイクイバレンス（同値）クラスに属する、したがって、$T_3\subseteq T_1$、しかし、$T_1$はコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）だから、$T_1\subseteq T_3$、したがって、$T_3=T_1$。

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3: 注

任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントがコネクテッド（連結された）であるというのはそれほど明らかなことではない、なぜなら、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントはコンポーネント内の任意のポイントたちペアのコネクテッド（連結された）性に基づいて定義されていて、それはあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）の存在に関することであるが、そのサブスペース（部分空間）は必ずしも当該コンポーネントではないから; 当該コンポーネントは確かにそうしたコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）であるが、そうしたユニオン（和集合）がコネクテッド（連結された）であるという保証はない、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちの任意のシーケンスであって、シーケンシャルなペア毎にあるポイントを共有するもの、のユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるが。

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参考資料

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