2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性の定義を知っている。
- 読者は、イクイバレンス（同値）リレーション（関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）である。
2: 証明
任意のポイント\(p \in T\)に対して、\(p\)と\(p\)はコネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(\{p\}\)は、ディスジョイント（互いに素）なオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）ではないトポロジカルサブスペース（部分空間）であるから。
コネクテッド（連結された）な任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in T\)に対して、\(p_2\)と\(p_1\)はコネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(p_1\)と\(p_2\)を包含するあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）\(T_1\)があるから、それが意味するのは、\(T_1\)は\(p_2\)と\(p_1\)を包含しているということ。
以下を満たす任意のポイントたち\(p_1, p_2, p_3 \in T\)、つまり、\(p_1\)と\(p_2\)はコネクテッド（連結された）であり、\(p_2\)と\(p_3\)はコネクテッド（連結された）である、に対して、\(p_1\)と\(p_2\)を包含するあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）\(T_1\)および\(p_2\)と\(p_3\)を包含するあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）\(T_2\)がある。\(T_1 \cup T_2\)は\(p_1\)と\(p_3\)を包含するコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）である、以下に証明されるとおり。\(T_1 \cup T_2\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する。\(T_1 \cup T_2 = U_1 \cup U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、ここで、\(U_i\)は\(T_1 \cup T_2\)上の空でないオープンセット（開集合）だということになる。\(U_i = {U_i}' \cap (T_1 \cup T_2)\)、ここで、\({U_i}'\)は\(T\)上でオープン（開）だということになる、サブスペース（部分空間）の定義によって。\({U_1}' \cup {U_2}'\)は\(T_1 \cup T_2\)をカバーすることになるから、\(T_i = T_i \cap ({U_1}' \cup {U_2}') = (T_i \cap {U_1}') \cup (T_i \cap {U_2}')\)。\({U_1}'\)と\({U_2}'\)は\(T_i\)上で何らのポイントも共有しないだろう、なぜなら、さもなければ、\(U_1\)と\(U_2\)はそのポイントを共有することになる。両\(T_1\)および\(T_2\)の内の各々が\({U_i}'\)内に包含されているということはないだろう、なぜなら、もしも、一般性を失うことなく、\(T_1\)および\(T_2\)の両者が\({U_1}'\)内に包含されていたとしたら、\(U_2 = {U_2}' \cap (T_1 \cup T_2)\)は空だということになるだろう; もしも、一般性を失うことなく、\(T_1\)および\(T_2\)がそれぞれ\({U_1}'\)および\({U_2}'\)に含まれていたとしたら、\({U_1}'\)と\({U_2}'\)は\(p_2\)を共有することになる、すると、\(U_1\)と\(U_2\)は\(p_2\)を共有することになる。したがって、\(T_1\)と\(T_2\)の内の少なくとも1つは\({U_1}'\)と\({U_2}'\)の中へ分割されることになる、それが意味するのは、\(T_1\)と\(T_2\)の内の少なくとも1つはコネクテッド（連結された）でないことになるということ、矛盾。
