203: 2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）である

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2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性の定義を知っている。
• 読者は、イクイバレンス（同値）リレーション（関係）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）である。

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2: 証明

任意のポイント$p\in T$に対して、$p$と$p$はコネクテッド（連結された）である、なぜなら、$\{p\}$は、ディスジョイント（互いに素）なオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）ではないトポロジカルサブスペース（部分空間）であるから。

コネクテッド（連結された）な任意のポイントたち$p_1,p_2\in T$に対して、$p_2$と$p_1$はコネクテッド（連結された）である、なぜなら、$p_1$と$p_2$を包含するあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）$T_1$があるから、それが意味するのは、$T_1$は$p_2$と$p_1$を包含しているということ。

以下を満たす任意のポイントたち$p_1,p_2,p_3\in T$、つまり、$p_1$と$p_2$はコネクテッド（連結された）であり、$p_2$と$p_3$はコネクテッド（連結された）である、に対して、$p_1$と$p_2$を包含するあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）$T_1$および$p_2$と$p_3$を包含するあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）$T_2$がある。$T_1\cup T_2$は$p_1$と$p_3$を包含するコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）である、以下に証明されるとおり。$T_1\cup T_2$はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する。$T_1\cup T_2=U_1\cup U_2$、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、$U_i$は$T_1\cup T_2$上の空でないオープンセット（開集合）だということになる。$U_i={U_i}^{\prime }\cap (T_1\cup T_2)$、ここで、${U_i}^{\prime }$は$T$上でオープン（開）だということになる、サブスペース（部分空間）の定義によって。${U_1}^{\prime }\cup {U_2}^{\prime }$は$T_1\cup T_2$をカバーすることになるから、$T_i=T_i\cap ({U_1}^{\prime }\cup {U_2}^{\prime })=(T_i\cap {U_1}^{\prime })\cup (T_i\cap {U_2}^{\prime })$。${U_1}^{\prime }$と${U_2}^{\prime }$は$T_i$上で何らのポイントも共有しないだろう、なぜなら、さもなければ、$U_1$と$U_2$はそのポイントを共有することになる。両$T_1$および$T_2$の内の各々が${U_i}^{\prime }$内に包含されているということはないだろう、なぜなら、もしも、一般性を失うことなく、$T_1$および$T_2$の両者が${U_1}^{\prime }$内に包含されていたとしたら、$U_2={U_2}^{\prime }\cap (T_1\cup T_2)$は空だということになるだろう; もしも、一般性を失うことなく、$T_1$および$T_2$がそれぞれ${U_1}^{\prime }$および${U_2}^{\prime }$に含まれていたとしたら、${U_1}^{\prime }$と${U_2}^{\prime }$は$p_2$を共有することになる、すると、$U_1$と$U_2$は$p_2$を共有することになる。したがって、$T_1$と$T_2$の内の少なくとも1つは${U_1}^{\prime }$と${U_2}^{\prime }$の中へ分割されることになる、それが意味するのは、$T_1$と$T_2$の内の少なくとも1つはコネクテッド（連結された）でないことになるということ、矛盾。

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参考資料

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