206: 2ポイントたちはトポロジカルにパスコネクテッド（連結された）である、もしも2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限って

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2ポイントたちはトポロジカルにパスコネクテッド（連結された）である、もしも2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド性の定義を知っている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のポイントたち$p_1,p_2\in T$はパスコネクテッド（連結された）である、もしも、以下を満たすパス$\lambda :[r_1,r_2]\to T$、つまり、$\lambda (r_1)=p_1$および$\lambda (r_2)=p_2$、がある場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

ある$\lambda$があると仮定する。$T_1:=\lambda ([r_1,r_2])$はパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（空間）であると証明しよう。任意のポイントたち$p_3,p_4\in T_1$に対して、$p_3=\lambda (r_3)$および$p_4=\lambda (r_4)$、そして、${\lambda }^{\prime }:[r_3,r_4]\to T_1$、それは、$\lambda$のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）であり、$T_1$上のパスである、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。したがって、$p_3$と$p_4$は$T_1$上でパスコネクテッド（連結された）である。したがって、$p_1$と$p_2$は$T$上でパスコネクテッド（連結された）である、両ポイントたちを包含するあるパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）があるから。

$p_1$と$p_2$はパスコネクテッド（連結された）であると仮定する。あるパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）$p_1,p_2\in T_1\subseteq T$がある。当該2ポイントたちをコネクト（連結）するあるパス${\lambda }^{\prime }:[r_1,r_2]\to T_1$がある、しかし、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、$\lambda :[r_1,r_2]\to T$は$T$上のパスである。

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3: 注

本命題は、一部の人々にとっては定義かもしれない、しかし、私は別の定義を採択したので、本命題が必要なのだ。

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参考資料

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