2ポイントたちはトポロジカルにパスコネクテッド（連結された）である、もしも2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in T\)はパスコネクテッド（連結された）である、もしも、以下を満たすパス\(\lambda: [r_1, r_2] \rightarrow T\)、つまり、\(\lambda (r_1) = p_1\)および\(\lambda (r_2) = p_2\)、がある場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
ある\(\lambda\)があると仮定する。\(T_1 := \lambda ([r_1, r_2])\)はパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（空間）であると証明しよう。任意のポイントたち\(p_3, p_4 \in T_1\)に対して、\(p_3 = \lambda (r_3)\)および\(p_4 = \lambda (r_4)\)、そして、\({\lambda}': [r_3, r_4] \rightarrow T_1\)、それは、\(\lambda\)のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）であり、\(T_1\)上のパスである、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。したがって、\(p_3\)と\(p_4\)は\(T_1\)上でパスコネクテッド（連結された）である。したがって、\(p_1\)と\(p_2\)は\(T\)上でパスコネクテッド（連結された）である、両ポイントたちを包含するあるパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）があるから。
\(p_1\)と\(p_2\)はパスコネクテッド（連結された）であると仮定する。あるパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）\(p_1, p_2 \in T_1 \subseteq T\)がある。当該2ポイントたちをコネクト（連結）するあるパス\(\lambda': [r_1, r_2] \rightarrow T_1\)がある、しかし、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、\(\lambda: [r_1, r_2] \rightarrow T\)は\(T\)上のパスである。
3: 注
本命題は、一部の人々にとっては定義かもしれない、しかし、私は別の定義を採択したので、本命題が必要なのだ。
