204: コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含しコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含されているサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）である

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コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含しコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含されているサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）に対して、当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含し当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含された任意のサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）$T_1\subseteq T$に対して、以下を満たす任意のサブスペース（部分空間）$T_2\subseteq T$、つまり、$T_1\subseteq T_2\subseteq \overline{T_1}$、はコネクテッド（連結された）である。

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2: 証明

$T_2$はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する。$T_2=U_1\cup U_2$、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、$U_i$は$T_2$上の空でないオープンセット（開集合）であり、$U_i={U_i}^{\prime }\cap T_2$、ここで、${U_i}^{\prime }$は$T$上でオープン（開）である。$U_i={U_i}^{\prime }\cap (U_1\cup U_2)=({U_i}^{\prime }\cap U_1)\cup ({U_i}^{\prime }\cap U_2)$。$U_1=({U_1}^{\prime }\cap U_1)\cup ({U_1}^{\prime }\cap U_2)$および${U_1}^{\prime }\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$; 同様に、${U_2}^{\prime }\cap U_1=\mathrm{\varnothing }$。$T_1$は$U_1$と$U_2$の中へ分割されることはない、なぜなら、さもなければ、$T_1=S_1\cup S_2$、ここで、$S_i\subseteq U_i$、$S_1\cap S_2=\mathrm{\varnothing }$、$S_i={U_i}^{\prime }\cap S_i$、$U_i={U_i}^{\prime }\cap U_i$であるから、$S_i={U_i}^{\prime }\cap (S_1\cup S_2)={U_i}^{\prime }\cap T_1$、したがって、$T_1$はコネクテッド（連結された）でないということになる。一般性を失うことなく、$T_1\subseteq U_1$だと仮定する。$T_1\subseteq U_1\subseteq T\setminus {U_2}^{\prime }$、なぜなら、${U_2}^{\prime }\cap U_1=\mathrm{\varnothing }$。したがって、$T\setminus {U_2}^{\prime }$は$T_1$を包含するクローズドセット（閉集合）である、したがって、$\overline{T_1}\subseteq T\setminus {U_2}^{\prime }$、しかし、$U_2\subseteq {U_2}^{\prime }$であるから、$T_2\subseteq \overline{T_1}$ではないということになる、矛盾。したがって、$T_2$はコネクテッド（連結された）である。

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3: 注

$T_2$は$\overline{T_1}$に取れるので、$\overline{T_1}$はコネクテッド（連結された）である。

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参考資料

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