コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含しコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含されているサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）に対して、当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含し当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含された任意のサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）\(T_1 \subseteq T\)に対して、以下を満たす任意のサブスペース（部分空間）\(T_2 \subseteq T\)、つまり、\(T_1 \subseteq T_2 \subseteq \overline{T_1}\)、はコネクテッド（連結された）である。
2: 証明
\(T_2\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する。\(T_2 = U_1 \cup U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、ここで、\(U_i\)は\(T_2\)上の空でないオープンセット（開集合）であり、\(U_i = {U_i}' \cap T_2\)、ここで、\({U_i}'\)は\(T\)上でオープン（開）である。\(U_i = {U_i}' \cap (U_1 \cup U_2) = ({U_i}' \cap U_1) \cup ({U_i}' \cap U_2)\)。\(U_1 = ({U_1}' \cap U_1) \cup ({U_1}' \cap U_2)\)および\({U_1}' \cap U_2 = \emptyset\); 同様に、\({U_2}' \cap U_1 = \emptyset\)。\(T_1\)は\(U_1\)と\(U_2\)の中へ分割されることはない、なぜなら、さもなければ、\(T_1 = S_1 \cup S_2\)、ここで、\(S_i \subseteq U_i\)、\(S_1 \cap S_2 = \emptyset\)、\(S_i = {U_i}' \cap S_i\)、\(U_i = {U_i}' \cap U_i\)であるから、\(S_i = {U_i}' \cap (S_1 \cup S_2) = {U_i}' \cap T_1\)、したがって、\(T_1\)はコネクテッド（連結された）でないということになる。一般性を失うことなく、\(T_1 \subseteq U_1\)だと仮定する。\(T_1 \subseteq U_1 \subseteq T \setminus {U_2}'\)、なぜなら、\({U_2}' \cap U_1 = \emptyset\)。したがって、\(T \setminus {U_2}'\)は\(T_1\)を包含するクローズドセット（閉集合）である、したがって、\(\overline{T_1} \subseteq T \setminus {U_2}'\)、しかし、\(U_2 \subseteq {U_2}'\)であるから、\(T_2 \subseteq \overline{T_1}\)ではないということになる、矛盾。したがって、\(T_2\)はコネクテッド（連結された）である。
3: 注
\(T_2\)は\(\overline{T_1}\)に取れるので、\(\overline{T_1}\)はコネクテッド（連結された）である。
