187: ディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）である

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ディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（共通集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）$S\subseteq T$とオープンセット（開集合）$U\subseteq T$、$S\cap U=\mathrm{\varnothing }$に対して、$S$のクロージャー（閉包）$\bar{S}$と$U$はディスジョイント（互いに素）である、つまり、$\bar{S}\cap U=\mathrm{\varnothing }$。

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2: 証明

$\bar{S}$と$U$はディスジョイント（互いに素）でないと仮定する。あるポイント$p\in \bar{S},U$があることになる。任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（共通集合）であるという命題によって、$p$は$S$上にあるか、$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）であることになる、しかし、前者は不可能である、なぜなら、$S$と$U$はディスジョイント（互いに素）だから、したがって、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）だということになる。$p\in U$であるから、$p$の周りに以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U_p$があることになる、つまり、$p\in U_p\subset U$、しかし、$U_p$は$S$の何らのポイントも包含しないことになる、したがって、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）ではないことになる、矛盾。

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参考資料

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