ディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（共通集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)とオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)、\(S \cap U = \emptyset\)に対して、\(S\)のクロージャー（閉包）\(\overline{S}\)と\(U\)はディスジョイント（互いに素）である、つまり、\(\overline{S} \cap U = \emptyset\)。
2: 証明
\(\overline{S}\)と\(U\)はディスジョイント（互いに素）でないと仮定する。あるポイント\(p \in \overline{S}, U\)があることになる。任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（共通集合）であるという命題によって、\(p\)は\(S\)上にあるか、\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であることになる、しかし、前者は不可能である、なぜなら、\(S\)と\(U\)はディスジョイント（互いに素）だから、したがって、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）だということになる。\(p \in U\)であるから、\(p\)の周りに以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(U_p\)があることになる、つまり、\(p \in U_p \subset U\)、しかし、\(U_p\)は\(S\)の何らのポイントも包含しないことになる、したがって、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）ではないことになる、矛盾。
