188: サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）である

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サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意の ポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、その全てのネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってを認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$S$のクロージャー（閉包）$\bar{S}$は$S$と$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）$ac(S)$のユニオン（和集合）である、つまり、$\bar{S}=S\cup ac(S)$。

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2: 証明

任意のポイント$p\in \bar{S}$に対して、もしも、$p\in S$である場合、$p\in S\cup ac(S)$、その他の場合、クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意の ポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、その全てのネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってによって、$p$の全てのネイバーフッド（近傍）は$S$のあるポイントを包含している、しかし、$p$ は$S$上のポイントではないので、$p$の全てのネイバーフッド（近傍）は(p\)以外の$S$のあるポイントを包含している、したがって、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、$p\in S\cup ac(S)$。

任意のポイント$p\in S\cup ac(S)$に対して、もしも、$p\in S$である場合、$p\in \bar{S}$、その他の場合、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、$p$の全てのネイバーフッド（近傍）は$S$のあるポイントを持つ、アキューミュレーションポイント（集積点）の定義によって、したがって、クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意の ポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、その全てのネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってによって、$p\in \bar{S}$。

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参考資料

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