マップ（写像）たちコンポジション（合成）プリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題の記述と証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2, . . ., S_n\)、ここで、\(3 \le n\)、任意のマップ（写像）たち\(f_1: S_1 \rightarrow S_2, f_2: S_2 \rightarrow S_3, . . ., f_{n - 1}: S_{n - 1} \rightarrow S_n\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq S_n\)に対して、\((f_{n - 1} \circ . . . \circ f_2 \circ f_1)^{-1} (S) = {f_1}^{-1} ({f_2}^{-1} (. . . ({f_{n - 1}}^{-1} (S)) . . .))\)。
2: 証明
\(n = 3\)だと仮定する。任意の要素\(p \in (f_2 \circ f_1)^{-1} (S)\)に対して、\(f_2 \circ f_1 (p) \in S\)、\(f_1 (p) \in {f_2}^{-1} (S)\)、\(p \in {f_1}^{-1} ({f_2}^{-1} (S))\)。任意の\(p \in {f_1}^{-1} ({f_2}^{-1} (S))\)に対して、\(f_1 (p) \in {f_2}^{-1} (S)\)、\(f_2 \circ f_1 (p) \in S\)、\(p \in (f_2 \circ f_1)^{-1} (S)\)。
ある\(n\)に対して、\((f_{n - 1} \circ . . . \circ f_2 \circ f_1)^{-1} (S) = {f_1}^{-1} ({f_2}^{-1} (. . . ({f_{n - 1}}^{-1} (S)) . . .))\)だと仮定する。\((f_{n} \circ f_{n - 1} \circ . . . \circ f_2 \circ f_1)^{-1} (S) = (f_{n} \circ (f_{n - 1} \circ . . . \circ f_2 \circ f_1))^{-1} (S) = {(f_{n - 1} \circ . . . \circ f_2 \circ f_1)}^{-1} ({f_{n}}^{-1} (S)) = {f_1}^{-1} ({f_2}^{-1} (. . . ({f_{n - 1}}^{-1} ({f_{n}}^{-1} (S))) . . .))\)。
したがって、数学的帰納法によって、当命題は任意の\(3 \le n\)に対して成立する。
