マップ（写像）たちコンポジション（合成）プリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題の記述と証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{S'_1, ..., S'_n\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_2, ..., S_{n + 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で以下を満たすもの、つまり、\(\forall j \in \{2, ..., n\} (S_j \subseteq S'_j)\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: S'_j \to S_{j + 1}\), \(\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たち }\}\)
\(f_n \circ ... \circ f_1\): \(S'_1 \to S_{n + 1}, s \mapsto f_n (f_{n - 1} (... (f_1 (s)) ... ))\)
\(S\): \(\subseteq S_{n + 1}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((f_n \circ ... \circ f_1)^{-1} (S) = f_1^{-1} (f_2^{-1} (... f_{n - 1}^{-1} (f_n^{-1} (S) \cap S_n) ...) \cap S_2))\)
//
2: 注
"\(\cap S_j\)"たちが追加されている理由は、例えば、\(f_{n - 1}^{-1} (f_n^{-1} (S))\)は必ずしも意味をなさないことになる、なぜなら、\(f_n^{-1} (S) \subseteq S'_n\)、しかし、\(f_{n - 1}\)のコドメイン（余域）は\(S_n \subseteq S'_n\)である。
3: 証明
全体戦略: それをインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それを\(n = 2\)に対して見る; ステップ2: それが\(n\)に対して成立すると仮定して、それが\(n + 1\)に対して成立することを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(n = 2\)としよう。
\((f_2 \circ f_1)^{-1} (S) = f_1^{-1} (f_2^{-1} (S) \cap S_2)\)が成立することを見よう。
\(p \in (f_2 \circ f_1)^{-1} (S)\)を任意のものとしよう。
\(f_2 \circ f_1 (p) \in S\)。
\(f_1 (p) \in f_2^{-1} (S)\)、しかし、\(f_1 (p) \in S_2\)であるから、\(f_1 (p) \in f_2^{-1} (S) \cap S_2\)。
したがって、\(p \in f_1^{-1} (f_2^{-1} (S) \cap S_2)\)。
\(p \in f_1^{-1} (f_2^{-1} (S) \cap S_2)\)を任意のものとしよう。
\(f_1 (p) \in f_2^{-1} (S) \cap S_2\)。
\(f_2 \circ f_1 (p) \in S\)。
したがって、\(p \in (f_2 \circ f_1)^{-1} (S)\)。
ステップ2:
\((f_n \circ ... \circ f_1)^{-1} (S) = f_1^{-1} (f_2^{-1} (... f_{n - 1}^{-1} (f_n^{-1} (S) \cap S_n) ...) \cap S_2))\)が任意の\(n\)に対して成立すると仮定しよう。
\((f_{n + 1} \circ ... \circ f_1)^{-1} (S) = f_1^{-1} (f_2^{-1} (... f_n^{-1} (f_{n + 1}^{-1} (S) \cap S_{n + 1}) ...) \cap S_2))\)であることを見よう。
\(f_{n + 1} \circ ... \circ f_1 = f_{n + 1} (f_n \circ ... \circ f_1)\)。
したがって、ステップ1によって、\((f_{n + 1} \circ ... \circ f_1)^{-1} (S) = (f_n \circ ... \circ f_1)^{-1} (f_{n + 1}^{-1} (S) \cap S_{n + 1})\)。
インダクションプリンシプル（帰納法）によって、\(= f_1^{-1} (f_2^{-1} (... f_{n - 1}^{-1} (f_n^{-1} (f_{n + 1}^{-1} (S) \cap S_{n + 1}) \cap S_n) ...) \cap S_2))\)、それが、私たちが見る必要のあったことに他ならない。
ステップ3:
したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、本命題は成立する。
