2023年2月5日日曜日

186: マップ（写像）たちコンポジション（合成）プリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）である

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マップ（写像）たちコンポジション（合成）プリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であることの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題の記述と証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のセット（集合）たちS1,S2,...,Sn、ここで、3≤n、任意のマップ（写像）たちf1:S1→S2,f2:S2→S3,...,fn−1:Sn−1→Sn、任意のサブセット（部分集合）S⊆Snに対して、(fn−1∘...∘f2∘f1)−1(S)=f1−1(f2−1(...(fn−1−1(S))...))。

2: 証明


n=3だと仮定する。任意の要素p∈(f2∘f1)−1(S)に対して、f2∘f1(p)∈S、f1(p)∈f2−1(S)、p∈f1−1(f2−1(S))。任意のp∈f1−1(f2−1(S))に対して、f1(p)∈f2−1(S)、f2∘f1(p)∈S、p∈(f2∘f1)−1(S)。

あるnに対して、(fn−1∘...∘f2∘f1)−1(S)=f1−1(f2−1(...(fn−1−1(S))...))だと仮定する。(fn∘fn−1∘...∘f2∘f1)−1(S)=(fn∘(fn−1∘...∘f2∘f1))−1(S)=(fn−1∘...∘f2∘f1)−1(fn−1(S))=f1−1(f2−1(...(fn−1−1(fn−1(S)))...))。

したがって、数学的帰納法によって、当命題は任意の3≤nに対して成立する。

参考資料
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