パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネント\(T_1 \subseteq T\)は、より大きくはできない任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない。
2: 証明
\(T_1\)はパスコネクテッド（連結された）か？任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in T_1\)に対して、\(p_1\)と\(p_2\)は\(T\)上でパスコネクテッド（連結された）であるから、あるパス\(\lambda: [0, 1] \rightarrow T\)がある。\(\lambda ([0, 1]) \subseteq T_1\)、なぜなら、任意のポイント\(p_3 \in \lambda ([0, 1])\)に対して、\(p_3 = \lambda (r_3)\)、そして、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、\({\lambda}': [0, r_3] \rightarrow T = {\lambda}|_{[0, r_3]}\)は\(p_1\)と\(p_3\)をコネクト（連結）する\(T\)上のパスである、したがって、\(p_3 \in T_1\)。任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、\(\lambda\)のリストリクション（制限）である\({\lambda}'': [0, 1] \rightarrow T_1\)は\(T_1\)上のパスである。したがって、はい、\(T_1\)はパスコネクテッド（連結された）である。
\(T_1\)に任意のポイントを追加すると、結果はパスコネクテッド（連結された）でないトポロジカルサブスペース（部分空間）になる、なぜなら、追加されたポイントは当該イクイバレンス（同値）クラスに属さないから、それが意味するのは、追加されたポイントと\(T_1\)のあるポイントを包含するパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）は存在しないということである、したがって、両ポイントたちを包含する結果サブスペース（部分空間）はパスコネクテッド（連結された）ではあり得ない。
\(T_3\)は、\(T_1\)のあるポイントを包含し、より大きくはできない任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）であると仮定する。\(T_3\)の全てのポイントたちは当該ポイントのイクイバレンス（同値）クラスに属する、したがって、\(T_3 \subseteq T_1\)、しかし、\(T_1\)はパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）だから、\(T_1 \subseteq T_3\)、したがって、\(T_3 = T_1\)。
3: 注
任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントがパスコネクテッド（連結された）であるというのはそれほど明らかなことではない、なぜなら、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントはコンポーネント内の任意のポイントたちペアのパスコネクテッド（連結された）性に基づいて定義されていて、それはあるパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）の存在に関することであるが、そのサブスペース（部分空間）は必ずしも当該コンポーネントではないから; 当該コンポーネントは確かにそうしたパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）であるが、そうしたユニオン（和集合）がパスコネクテッド（連結された）であるという保証はない、パスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちの任意のシーケンスであって、シーケンシャルなペア毎にあるポイントを共有するもの、のユニオン（和集合）はパスコネクテッド（連結された）であるが。
