209: パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない

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パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネント$T_1\subseteq T$は、より大きくはできない任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない。

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2: 証明

$T_1$はパスコネクテッド（連結された）か？任意のポイントたち$p_1,p_2\in T_1$に対して、$p_1$と$p_2$は$T$上でパスコネクテッド（連結された）であるから、あるパス$\lambda :[0,1]\to T$がある。$\lambda ([0,1])\subseteq T_1$、なぜなら、任意のポイント$p_3\in \lambda ([0,1])$に対して、$p_3=\lambda (r_3)$、そして、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、${\lambda }^{\prime }:[0,r_3]\to T=\lambda {|}_{[0,r_3]}$は$p_1$と$p_3$をコネクト（連結）する$T$上のパスである、したがって、$p_3\in T_1$。任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、$\lambda$のリストリクション（制限）である${\lambda }^{″}:[0,1]\to T_1$は$T_1$上のパスである。したがって、はい、$T_1$はパスコネクテッド（連結された）である。

$T_1$に任意のポイントを追加すると、結果はパスコネクテッド（連結された）でないトポロジカルサブスペース（部分空間）になる、なぜなら、追加されたポイントは当該イクイバレンス（同値）クラスに属さないから、それが意味するのは、追加されたポイントと$T_1$のあるポイントを包含するパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）は存在しないということである、したがって、両ポイントたちを包含する結果サブスペース（部分空間）はパスコネクテッド（連結された）ではあり得ない。

$T_3$は、$T_1$のあるポイントを包含し、より大きくはできない任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）であると仮定する。$T_3$の全てのポイントたちは当該ポイントのイクイバレンス（同値）クラスに属する、したがって、$T_3\subseteq T_1$、しかし、$T_1$はパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）だから、$T_1\subseteq T_3$、したがって、$T_3=T_1$。

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3: 注

任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントがパスコネクテッド（連結された）であるというのはそれほど明らかなことではない、なぜなら、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントはコンポーネント内の任意のポイントたちペアのパスコネクテッド（連結された）性に基づいて定義されていて、それはあるパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）の存在に関することであるが、そのサブスペース（部分空間）は必ずしも当該コンポーネントではないから; 当該コンポーネントは確かにそうしたパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）であるが、そうしたユニオン（和集合）がパスコネクテッド（連結された）であるという保証はない、パスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちの任意のシーケンスであって、シーケンシャルなペア毎にあるポイントを共有するもの、のユニオン（和集合）はパスコネクテッド（連結された）であるが。

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参考資料

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