208: パスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）パスコネクテッド（連結された）である、もしも、各サブスペース（部分空間）からポイントを抽出したサブスペース（部分空間）がパスコネクテッド（連結された）である場合

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パスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）パスコネクテッド（連結された）である、もしも、各サブスペース（部分空間）からポイントを抽出したサブスペース（部分空間）がパスコネクテッド（連結された）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はパスコネクテッド（連結された）である、もしも、各サブスペース（部分空間）から1ポイントを抽出したサブスペース（部分空間）がパスコネクテッド（連結された）である場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たち$\{S_{\alpha }\}$、$S_{\alpha }\subseteq T$に対して、${\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$はパスコネクテッド（連結された）である、もしも、各$S_{\alpha }$から1ポイントを抽出したサブスペース（部分空間）$\{p_{\alpha }\}$、ここで、$p_{\alpha }\in S_{\alpha }$、がパスコネクテッド（連結された）である場合。

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2: 証明

任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題に留意する。

任意の$p_1,p_2\in {\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$に対して、ある${\alpha }_1$とある${\alpha }_2$に対して、$p_1\in S_{{\alpha }_1}$および$p_2\in S_{{\alpha }_2}$。$p_1$と$p_{{\alpha }_1}$は$S_{{\alpha }_1}$上でパスコネクテッド（連結された）である、したがって、より大きな${\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$上でパスコネクテッド（連結された）である、$p_2$と$p_{{\alpha }_2}$は$S_{{\alpha }_2}$上でパスコネクテッド（連結された）である、したがって、より大きな${\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$上でパスコネクテッド（連結された）である、そして、$p_{{\alpha }_1}$と$p_{{\alpha }_2}$は$\{p_{\alpha }\}$上でパスコネクテッド（連結された）である、したがって、より大きな${\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$上でパスコネクテッド（連結された）である、したがって、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）であるという命題によって、$p_1$と$p_2$は${\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$上でパスコネクテッド（連結された）である。

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参考資料

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