コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S_1 \subseteq T_1\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S_2 \subseteq T_2\)、つまり、\(f (S_1) \subseteq S_2\)、に対して、\(f|_{S_1}: S_1 \rightarrow S_2\)はコンティヌアス（連続）である。
2: 証明
任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq S_2\)に対して、\(U = U' \cap S_2\)、ここで\(U' \subseteq T_2\)は\(T_2\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。\({f|_{S_1}}^{-1} (U) = {f|_{S_1}}^{-1} (U' \cap S_2) = f^{-1} (U') \cap S_1\)、なぜなら、任意の\(p \in {f|_{S_1}}^{-1} (U' \cap S_2)\)に対して、\(f|_{S_1} (p) \in U' \cap S_2\)、プリイメージ（前像）の定義によって、\(f (p) \in U' \cap S_2 \subseteq U'\)、したがって、\(p \in f^{-1} (U')\)、その一方で勿論、\(p \in S_1\)、なぜなら、\(S_1\)は\({f|_{S_1}}^{-1}\)のドメイン（定義域）であるから; 任意の\(p \in f^{-1} (U') \cap S_1\)に対して、\(f|_{S_1} (p) \in U'\)、なぜなら、\(p\)は\(S_1\)上にあるから\(f|_{S_1}\)はそれに同一結果で作用することができ結果は\(U'\)上にあるから、しかし、\(f|_{S_1} (S_1) = f (S_1) \subseteq S_2\)なので、\(f|_{S_1} (p) \in U' \cap S_2\)、したがって、\(p \in {f|_{S_1}}^{-1} (U' \cap S_2)\)。\(f\)はコンティヌアス（連続）であるから、\(f^{-1} (U')\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、そして、\(f^{-1} (U') \cap S_1\)は\(S_1\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
