393: コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）である

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コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$、任意のサブセット（部分集合）$S_1\subseteq T_1$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）$S_2\subseteq T_2$、つまり、$f(S_1)\subseteq S_2$、に対して、$f{|}_{S_1}:S_1\to S_2$はコンティヌアス（連続）である。

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2: 証明

任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq S_2$に対して、$U=U^{\prime }\cap S_2$、ここで$U^{\prime }\subseteq T_2$は$T_2$上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。${f{|}_{S_1}}^{-1}(U)={f{|}_{S_1}}^{-1}(U^{\prime }\cap S_2)=f^{-1}(U^{\prime })\cap S_1$、なぜなら、任意の$p\in {f{|}_{S_1}}^{-1}(U^{\prime }\cap S_2)$に対して、$f{|}_{S_1}(p)\in U^{\prime }\cap S_2$、プリイメージ（前像）の定義によって、$f(p)\in U^{\prime }\cap S_2\subseteq U^{\prime }$、したがって、$p\in f^{-1}(U^{\prime })$、その一方で勿論、$p\in S_1$、なぜなら、$S_1$は${f{|}_{S_1}}^{-1}$のドメイン（定義域）であるから; 任意の$p\in f^{-1}(U^{\prime })\cap S_1$に対して、$f{|}_{S_1}(p)\in U^{\prime }$、なぜなら、$p$は$S_1$上にあるから$f{|}_{S_1}$はそれに同一結果で作用することができ結果は$U^{\prime }$上にあるから、しかし、$f{|}_{S_1}(S_1)=f(S_1)\subseteq S_2$なので、$f{|}_{S_1}(p)\in U^{\prime }\cap S_2$、したがって、$p\in {f{|}_{S_1}}^{-1}(U^{\prime }\cap S_2)$。$f$はコンティヌアス（連続）であるから、$f^{-1}(U^{\prime })$は$T_1$上でオープン（開）である、そして、$f^{-1}(U^{\prime })\cap S_1$は$S_1$上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。

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参考資料

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