218: 有限数コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）である

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有限数コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の有限数コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の有限数トポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,...,T_n$に対して、$T_1\times T_2,\times ...,\times T_n$はコネクテッド（連結された）である。

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2: 証明

最初に、$n=2$のケースを考えよう。$T_1\times T_2$はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する。$T_1\times T_2=U_1\cup U_2$、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、$U_i$は$T_1\times T_2$上の空でないオープンセット（開集合）だということになる。プロダクトトポロジーの定義によって、$U_1={\cup }_{\alpha }{U}_{1-\alpha }\times U_{2-\alpha }$、ここで、$\{\alpha \}$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）だということになり、$U_{i-\alpha }$は$T_i$上で空でないオープン（開）だということになる; $U_2={\cup }_{\beta }{U}_{1-\beta }\times U_{2-\beta }$、ここで、$\{\beta \}$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）だということになり、$U_{i-\beta }$は$T_i$上で空でないオープン（開）ということになる。任意のポイント$p_1\in T_1$に対して、$\{p_1\}\times T_2$は$U_1\cup U_2$によってカバーされなければならないだろう。$\{\alpha \}$のサブセット（部分集合）$\{{\alpha }^{\prime }\}=\{{\alpha }^{\prime }\in \{\alpha \}|p_1\in U_{1-{\alpha }^{\prime }}\}$および$\{\beta \}$のサブセット（部分集合）$\{{\beta }^{\prime }\}=\{{\beta }^{\prime }\in \{\beta \}|p_1\in U_{1-{\beta }^{\prime }}\}$を取ろう。$({\cup }_{{\alpha }^{\prime }}{U}_{2-{\alpha }^{\prime }})\cup ({\cup }_{{\beta }^{\prime }}{U}_{2-{\beta }^{\prime }})=T_2$、なぜなら、各$p_2\in T_2$に対して、$(p_1,p_2)$はある$U_{1-{\alpha }^{\prime }}\times U_{2-{\alpha }^{\prime }}$の中かある$U_{1-{\beta }^{\prime }}\times U_{2-{\beta }^{\prime }}$の中かにいなければならないだろう。${\cup }_{{\alpha }^{\prime }}{U}_{2-{\alpha }^{\prime }}$と${\cup }_{{\beta }^{\prime }}{U}_{2-{\beta }^{\prime }}$はなんらのポイントも共有しない、なぜなら、もしも、$p_2\in {\cup }_{{\alpha }^{\prime }}{U}_{2-{\alpha }^{\prime }},{\cup }_{{\beta }^{\prime }}{U}_{2-{\beta }^{\prime }}$であれば、$(p_1,p_2)\in U_1,U_2$。${\cup }_{{\alpha }^{\prime }}{U}_{2-{\alpha }^{\prime }}$または${\cup }_{{\beta }^{\prime }}{U}_{2-{\beta }^{\prime }}$は空だということになるだろう、なぜなら、さもなければ、$T_2$はコネクテッド（連結された）でないことになる、ディスジョイント（互いに素）な空でないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）であって。${\cup }_{{\alpha }^{\prime }}{U}_{2-{\alpha }^{\prime }}=T_2$だと仮定する、一般性を失うことなく。$p_1\in {\cup }_{\alpha }{U}_{1-\alpha }$、なぜなら、さもなければ、$U_1\cup U_2$上に$(p_1,?)$が全然ないろいうことになる、そして$(p_1,?)\notin U_2$、なぜなら、さもなければ、ある$(p_1,p_2)$は$U_1$と$U_2$によって共有されることになる。しかし、$T_1$の全てのポイントたちが$U_1$上にあるということにはならない、なぜなら、さもなければ、$U_2$は空になるだろう。したがって、一方で$({\cup }_{\alpha }{U}_{1-\alpha })\cup ({\cup }_{\beta }{U}_{1-\beta })=T_1$である、なぜなら、各$p_1\in T_1$は、ある$U_{1-\alpha }$の中またはある$U_{1-\beta }$の中にいなければならないだろう、が、${\cup }_{\alpha }{U}_{1-\alpha }$と${\cup }_{\beta }{U}_{1-\beta }$によってなんらのポイントも共有されないだろう、それらのいずれも空でないだろう、したがって、$T_1$はコネクテッド（連結された）でないということになる、ディスジョイント（互いに素）な空でないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）として、矛盾。したがって、$T_1\times T_2$はコネクテッド（連結された）である。

$T_1\times T_2,\times ...,\times T_n$はコネクテッド（連結された）であると帰納的に証明できる、$T_1\times T_2$はコネクテッド（連結された）だから、$T_1\times T_2\times T_3=(T_1\times T_2)\times T_3$はコネクテッド（連結された）である、と続く。

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参考資料

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