有限数コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限数コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限数トポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2, . . ., T_n\)に対して、\(T_1 \times T_2, \times . . ., \times T_n\)はコネクテッド（連結された）である。
2: 証明
最初に、\(n = 2\)のケースを考えよう。\(T_1 \times T_2\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定する。\(T_1 \times T_2 = U_1 \cup U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、ここで、\(U_i\)は\(T_1 \times T_2\)上の空でないオープンセット（開集合）だということになる。プロダクトトポロジーの定義によって、\(U_1 = \cup_{\alpha} U_{1-\alpha} \times U_{2-\alpha}\)、ここで、\(\{\alpha\}\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）だということになり、\(U_{i-\alpha}\)は\(T_i\)上で空でないオープン（開）だということになる; \(U_2 = \cup_{\beta} U_{1-\beta} \times U_{2-\beta}\)、ここで、\(\{\beta\}\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）だということになり、\(U_{i-\beta}\)は\(T_i\)上で空でないオープン（開）ということになる。任意のポイント\(p_1 \in T_1\)に対して、\(\{p_1\} \times T_2\)は\(U_1 \cup U_2\)によってカバーされなければならないだろう。\(\{\alpha\}\)のサブセット（部分集合）\(\{\alpha'\} = \{\alpha' \in \{\alpha\}| p_1 \in U_{1-\alpha'}\}\)および\(\{\beta\}\)のサブセット（部分集合）\(\{\beta'\} = \{\beta' \in \{\beta\}| p_1 \in U_{1-\beta'}\}\)を取ろう。\((\cup_{\alpha'} U_{2-\alpha'}) \cup (\cup_{\beta'} U_{2-\beta'}) = T_2\)、なぜなら、各\(p_2 \in T_2\)に対して、\((p_1, p_2)\)はある\(U_{1-\alpha'} \times U_{2-\alpha'}\)の中かある\(U_{1-\beta'} \times U_{2-\beta'}\)の中かにいなければならないだろう。\(\cup_{\alpha'} U_{2-\alpha'}\)と\(\cup_{\beta'} U_{2-\beta'}\)はなんらのポイントも共有しない、なぜなら、もしも、\(p_2 \in \cup_{\alpha'} U_{2-\alpha'}, \cup_{\beta'} U_{2-\beta'}\)であれば、\((p_1, p_2) \in U_1, U_2\)。\(\cup_{\alpha'} U_{2-\alpha'}\)または\(\cup_{\beta'} U_{2-\beta'}\)は空だということになるだろう、なぜなら、さもなければ、\(T_2\)はコネクテッド（連結された）でないことになる、ディスジョイント（互いに素）な空でないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）であって。\(\cup_{\alpha'} U_{2-\alpha'} = T_2\)だと仮定する、一般性を失うことなく。\(p_1 \in \cup_\alpha U_{1-\alpha}\)、なぜなら、さもなければ、\(U_1 \cup U_2\)上に\((p_1, ?)\)が全然ないろいうことになる、そして\((p_1, ?) \notin U_2\)、なぜなら、さもなければ、ある\((p_1, p_2)\)は\(U_1\)と\(U_2\)によって共有されることになる。しかし、\(T_1\)の全てのポイントたちが\(U_1\)上にあるということにはならない、なぜなら、さもなければ、\(U_2\)は空になるだろう。したがって、一方で\((\cup_{\alpha} U_{1-\alpha}) \cup (\cup_{\beta} U_{1-\beta}) = T_1\)である、なぜなら、各\(p_1 \in T_1\)は、ある\(U_{1-\alpha}\)の中またはある\(U_{1-\beta}\)の中にいなければならないだろう、が、\(\cup_{\alpha} U_{1-\alpha}\)と\(\cup_{\beta} U_{1-\beta}\)によってなんらのポイントも共有されないだろう、それらのいずれも空でないだろう、したがって、\(T_1\)はコネクテッド（連結された）でないということになる、ディスジョイント（互いに素）な空でないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）として、矛盾。したがって、\(T_1 \times T_2\)はコネクテッド（連結された）である。
\(T_1 \times T_2, \times . . ., \times T_n\)はコネクテッド（連結された）であると帰納的に証明できる、\(T_1 \times T_2\)はコネクテッド（連結された）だから、\(T_1 \times T_2 \times T_3 = (T_1 \times T_2) \times T_3\)はコネクテッド（連結された）である、と続く。
