2つのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、サブスペース（部分空間）上のポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他のサブスペース（部分空間）のポイントを包含する場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の2つのトポロジカルサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、それらサブスペース（部分空間）たちの内の1つの上のあるポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他方サブスペース（部分空間）のあるポイントを包含する場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のコネクテッド（連結された）たち\(T_1, T_2 \subseteq T\)に対して、\(T_1 \cup T_2\)はコネクテッド（連結された）である、もしも、あるポイント\(p \in T_1\)があって、その各ネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq T\)が\(T_2\)上のあるポイントを包含する場合。
2: 証明
そうしたポイント\(p\)があると仮定する。\(T_1 \cup T_2\)はコネクテッド（連結された）ではなかったと仮定する。\(T_1 \cup T_2 = U_1 \cup U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、ここで、\(U_i\)は\(T_1 \cup T_2\)上で空でなくオープン（開）であるということになり、\(U_i = {U_i}' \cap (T_1 \cup T_2)\)、ここで、\({U_i}'\)は\(T\)上でオープン（開）であるということになる。一般性を失うことなく、\(p \in U_1\)。\({U_1}'\)は\(p\)のネイバーフッド（近傍）ということになり、したがって、あるポイント\(p' \in T_2\)を包含している。\(T_2 = (({U_1}' \cup {U_2}') \cap T_2)\)、\(U_1 \cup U_2\)は\(T_2\)を包含することになり、\({U_1}' \cup {U_2}'\)は\(U_1 \cup U_2\)を包含することになるから。\(T_2 = ({U_1}' \cap T_2) \cup ({U_2}' \cap T_2)\)。\({U_1}'\)と\({U_2}'\)は\(T_2\)上のなんらのポイントも共有しないだろう、なぜなら、さもなければ、\(U_1\)と\(U_2\)はそのポイントを共有することになるから。\(T_2\)はコネクテッド（連結された）であろうから、\({U_2}' \cap T_2\)は空でなければならないだろう、\(p' \in {U_1}'\)だから。したがって、\({U_2}'\)は\(T_1\)のあるポイントを包含しなければならないだろう、しかし、すると、\(T_1 = ({U_1}' \cup {U_2}') \cap T_1 = ({U_1}' \cap T_1) \cup ({U_2}' \cap T_1)\)、ディスジョイント（互いに素）な空でないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）、なぜなら、\({U_1}'\)と\({U_2}'\)は\(T_1\)上のなんらのポイントも共有しない、矛盾。したがって、\(T_1 \cup T_2\)はコネクテッド（連結された）である。
