217: 2つのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、サブスペース（部分空間）上のポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他のサブスペース（部分空間）のポイントを包含する場合

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2つのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、サブスペース（部分空間）上のポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他のサブスペース（部分空間）のポイントを包含する場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の2つのトポロジカルサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、それらサブスペース（部分空間）たちの内の1つの上のあるポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他方サブスペース（部分空間）のあるポイントを包含する場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および任意のコネクテッド（連結された）たち$T_1,T_2\subseteq T$に対して、$T_1\cup T_2$はコネクテッド（連結された）である、もしも、あるポイント$p\in T_1$があって、その各ネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq T$が$T_2$上のあるポイントを包含する場合。

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2: 証明

そうしたポイント$p$があると仮定する。$T_1\cup T_2$はコネクテッド（連結された）ではなかったと仮定する。$T_1\cup T_2=U_1\cup U_2$、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、ここで、$U_i$は$T_1\cup T_2$上で空でなくオープン（開）であるということになり、$U_i={U_i}^{\prime }\cap (T_1\cup T_2)$、ここで、${U_i}^{\prime }$は$T$上でオープン（開）であるということになる。一般性を失うことなく、$p\in U_1$。${U_1}^{\prime }$は$p$のネイバーフッド（近傍）ということになり、したがって、あるポイント$p^{\prime }\in T_2$を包含している。$T_2=(({U_1}^{\prime }\cup {U_2}^{\prime })\cap T_2)$、$U_1\cup U_2$は$T_2$を包含することになり、${U_1}^{\prime }\cup {U_2}^{\prime }$は$U_1\cup U_2$を包含することになるから。$T_2=({U_1}^{\prime }\cap T_2)\cup ({U_2}^{\prime }\cap T_2)$。${U_1}^{\prime }$と${U_2}^{\prime }$は$T_2$上のなんらのポイントも共有しないだろう、なぜなら、さもなければ、$U_1$と$U_2$はそのポイントを共有することになるから。$T_2$はコネクテッド（連結された）であろうから、${U_2}^{\prime }\cap T_2$は空でなければならないだろう、$p^{\prime }\in {U_1}^{\prime }$だから。したがって、${U_2}^{\prime }$は$T_1$のあるポイントを包含しなければならないだろう、しかし、すると、$T_1=({U_1}^{\prime }\cup {U_2}^{\prime })\cap T_1=({U_1}^{\prime }\cap T_1)\cup ({U_2}^{\prime }\cap T_1)$、ディスジョイント（互いに素）な空でないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）、なぜなら、${U_1}^{\prime }$と${U_2}^{\prime }$は$T_1$上のなんらのポイントも共有しない、矛盾。したがって、$T_1\cup T_2$はコネクテッド（連結された）である。

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参考資料

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