352: オープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準

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オープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準の記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述1
• 2: 証明1
• 3: 記述2
• 4: 証明2

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述1

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクション$\{B_{\alpha }\}$は$T$のベーシス（基底）である、もしも、$T$上の各オープンセット（開集合）がコレクションのいくつかの要素たちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明1

$T$上の各オープンセット（開集合）はコレクションのいくつかの要素たちのユニオン（和集合）であると仮定する。任意のオープンセット（開集合）$U$に対して、ユニオン（和集合）${\cup }_{{\alpha }_1}{B}_{{\alpha }_1}=U$があり、任意の$B_{{\alpha }_1}$は$B_{{\alpha }_1}\subseteq U$を満たす、したがって、コレクションはベーシス（基底）である。

コレクションはベーシス（基底）であると仮定する。任意のオープンセット（開集合）$U$はコレクションのいくつかの要素たちのユニオン（和集合）である、なぜなら、任意のポイント$p\in U$の周りに、あるオープンセット（開集合）$U_p\subseteq U$がある、オープン（開）であるためのローカル基準によって;あるオープンセット（開集合）$B_{\alpha }\subseteq U_p$がベーシス（基底）内にある、ベーシス（基底）の定義によって;$U$はベーシス（基底）内のそうしたオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）である。

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3: 記述2

任意のセット（集合）$S$およびサブセット（部分集合）たちの任意のコレクション$B=\{B_{\alpha }\subseteq S\}$に対して、$B$の要素たちの全てのユニオン（和集合）たちのコレクション（空集合は要素なしのユニオン（和集合）として含まれている）は、$S$に対するトポロジーを構成する、そして、$B$はそのトポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）である、もしも、1) $S$は$B$の全要素たちのユニオン（和集合）である、つまり$S=\cup B_{\alpha }$、そして、2) 各セット（集合）たち$B_1,B_2\in B$および各ポイント$p\in B_1\cap B_2$に対して、以下を満たすあるセット（集合）$B_3\in B$がある、つまり、$p\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$、場合、そしてその場合に限って。

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4: 証明2

条件たち1)および2)が満足されていると仮定する。$B$の要素たちの全てのユニオン（和集合）たちのコレクション内に$S$は含まれている、1)がゆえに、また、空集合は含まれている、また、コレクションの要素たちの任意の不可算かもしれない無限ユニオン（和集合）はコレクション内に含まれている、なぜなら、それは、$B$の要素たちのユニオン（和集合）であるから、そして、コレクションの要素たちの任意の有限インターセクション（共通集合）はコレクション内に含まれている、なぜなら、任意の要素たち${\cup }_{\alpha }{B}_{\alpha }$および${\cup }_{\beta }{B}_{\beta }$に対して、インターセクション（共通集合）$({\cup }_{\alpha }{B}_{\alpha })\cap ({\cup }_{\beta }{B}_{\beta })={\cup }_{\alpha ,\beta }(B_{\alpha }\cap B_{\beta })$、しかし、2)のため、任意の$p\in B_{\alpha }\cap B_{\beta }$に対して、以下を満たすある$B_{\gamma }\in B$、つまり、$p\in B_{\gamma }\subseteq B_{\alpha }\cap B_{\beta }$、がある、したがって、$B_{\alpha }\cap B_{\beta }=\cup B_{\gamma }$、なぜなら、そうした$p$たちは$B_{\alpha }\cap B_{\beta }$カバーするから、したがって、インターセクション（共通集合）は$\cup B_{\gamma }$であるが、それはコレクション内にいる。したがって、コレクションは実際にトポロジーである。$B$は当トポロジーのベーシス（基底）である、なぜなら、任意のオープンセット（開集合）（それは$B$の要素たちのあるユニオン（和集合）である）および当オープンセット（開集合）内の任意のポイントに対して、当ポイントは$B$のある要素内にあり、その要素は$B$がベーシス（基底）であることの定義を満たしているから。

トポロジーと想定されているものが本当にトポロジーであり、$B$はそのトポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）であると仮定する。記述1によって、$S$はオープン（開）であるので、$S$は$B$のいくつかの要素たちのユニオン（和集合）である、しかし、すると、$S$は$B$の全要素たちのユニオン（和集合）である、なぜなら、残っている任意の他の要素（それは$S$のサブセット（部分集合）である）を加えても、ユニオン（和集合）は変わらないから。$B$はベーシス（基底）であるので、$B_1$および$B_2$はオープン（開）であり、$B_1\cap B_2$はオープン（開）であり、ベーシス（基底）の定義によって、あるそういう$B_3$がある。

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参考資料

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