200: 2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）である

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2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知る。
• 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性の定義を知る。
• 読者は、イクイバレンスリレーション（等価関係）の定義を知っている。
• 読者は、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である（連結されている）、もしも、2ポイントたちをコネクト（連結）するあるパスが当該トポロジカルスペース（空間）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、2ポイントたちのパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）である。

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2: 証明

任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である（連結されている）、もしも、2ポイントたちをコネクト（連結）するあるパスが当該トポロジカルスペース（空間）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、$T$上のあるパスを挙げさえすればよい、2つの関心ポイントたちがパスコネクテッド（連結された）である（連結されている）と証明するためには。

任意のポイント$p\in T$に対して、$p$と$p$はパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、コンスタントに$p$へマップするカーブ$\lambda :[0,1]\to T$はパスであるから。

パスコネクテッド（連結された）である任意のポイントたち$p_1,p_2\in T$に対して、$p_2$と$p_1$はパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、あるパス$\lambda :[0,1]\to T$、ここで、$\lambda (0)=p_1$および$\lambda (1)=p_2$、があり、したがって、それに対応するパス${\lambda }^{\prime }:[0,1]\to [0,1]\to T$、ここで、その前半$[0,1]\to [0,1]$は$r\mapsto 1-r$でその後半$[0,1]\to T$は$\lambda$、があり、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの合成としてコンティニュアス（連続）であり、${\lambda }^{\prime }(0)=p_2$および${\lambda }^{\prime }(1)=p_1$。

以下を満たす任意のポイントたち$p_1,p_2,p_3\in T$、つまり、$p_1$と$p_2$はパスコネクテッド（連結された）であり$p_2$と$p_3$はパスコネクテッド（連結された）である、に対して、パスたち${\lambda }_1:[0,2^{-1}]\to T$、ここで、${\lambda }_1(0)=p_1$および${\lambda }_1(2^{-1})=p_2$、および${\lambda }_2:[2^{-1},1]\to T$、ここで、${\lambda }_2(2^{-1})=p_2$および${\lambda }_2(1)=p_3$、がある。${\lambda }^{\prime }:[0,1]\to T$を${\lambda }^{\prime }{|}_{[0,2^{-1}]}={\lambda }_1$および${\lambda }^{\prime }{|}_{[2^{-1},1]}={\lambda }_2$を定義しよう。${\lambda }^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって、そして、${\lambda }^{\prime }(0)=p_1$および${\lambda }^{\prime }(1)=p_3$。したがって、$p_1$および$p_3$はパスコネクテッド（連結された）である。

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参考資料

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