2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知る。
- 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性の定義を知る。
- 読者は、イクイバレンスリレーション（等価関係）の定義を知っている。
- 読者は、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である（連結されている）、もしも、2ポイントたちをコネクト（連結）するあるパスが当該トポロジカルスペース（空間）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、2ポイントたちのパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）である。
2: 証明
任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である（連結されている）、もしも、2ポイントたちをコネクト（連結）するあるパスが当該トポロジカルスペース（空間）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、\(T\)上のあるパスを挙げさえすればよい、2つの関心ポイントたちがパスコネクテッド（連結された）である（連結されている）と証明するためには。
任意のポイント\(p \in T\)に対して、\(p\)と\(p\)はパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、コンスタントに\(p\)へマップするカーブ\(\lambda: [0, 1] \rightarrow T\)はパスであるから。
パスコネクテッド（連結された）である任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in T\)に対して、\(p_2\)と\(p_1\)はパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、あるパス\(\lambda: [0, 1] \rightarrow T\)、ここで、\(\lambda (0) = p_1\)および\(\lambda (1) = p_2\)、があり、したがって、それに対応するパス\({\lambda}': [0, 1] \rightarrow [0, 1] \rightarrow T\)、ここで、その前半\([0, 1] \rightarrow [0, 1]\)は\(r \mapsto 1 - r\)でその後半\([0, 1] \rightarrow T\)は\(\lambda\)、があり、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの合成としてコンティニュアス（連続）であり、\({\lambda}' (0) = p_2\)および\({\lambda}' (1) = p_1\)。
以下を満たす任意のポイントたち\(p_1, p_2, p_3 \in T\)、つまり、\(p_1\)と\(p_2\)はパスコネクテッド（連結された）であり\(p_2\)と\(p_3\)はパスコネクテッド（連結された）である、に対して、パスたち\({\lambda}_1: [0, 2^{-1}] \rightarrow T\)、ここで、\({\lambda}_1 (0) = p_1\)および\({\lambda}_1 (2^{-1}) = p_2\)、および\({\lambda}_2: [2^{-1}, 1] \rightarrow T\)、ここで、\({\lambda}_2 (2^{-1}) = p_2\)および\({\lambda}_2 (1) = p_3\)、がある。\({\lambda}': [0, 1] \rightarrow T\)を\({\lambda}'|_{[0, 2^{-1}]} = {\lambda}_1\)および\(\lambda'|_{[2^{-1}, 1]} = {\lambda}_2\)を定義しよう。\({\lambda}'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって、そして、\({\lambda}' (0) = p_1\)および\({\lambda}' (1) = p_3\)。したがって、\(p_1\)および\(p_3\)はパスコネクテッド（連結された）である。
