サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）である、もしも、マップ（写像）がインジェクティブ（単射）である場合、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分は、当該サブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）内に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分は、当該サブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）である、もしも、当該マップ（写像）がインジェクティブ（単射）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1\)および\(S_2\)、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_3, S_4 \subseteq S_1\)に対して、\(f (S_3) \setminus f (S_4) = f (S_3 \setminus S_4)\)。
2: 証明
任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分は、当該サブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）内に包含されているという命題によって、\(f (S_3) \setminus f (S_4) \subseteq f (S_3 \setminus S_4)\)。
任意の\(p \in f (S_3 \setminus S_4)\)に対して、以下を満たすある\(p' \in S_3 \setminus S_4\)、つまり、\(p = f (p')\)、がある、したがって、\(p' \in S_3\)および\(p' \notin S_4\)、\(f (p') \in f (S_3)\)。\(f (p') \notin f (S_4)\)、なぜなら、任意の\(p'' \in f (S_4)\)に対して、以下を満たすある\(p''' \in S_4\)、つまり、\(p'' = f (p''')\)、がある、しかし、\(p''' \neq p'\)であるから、\(p'' = f (p''') \neq f (p') = p\)、\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、したがって、\(p\)は\(f (S_4)\)のポイントではあり得ない。したがって、\(p \in f (S_3) \setminus f (S_4)\)。
