221: ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成する|T.B.P.日本語版

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ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成することの記述/証明

話題

About: ベクトルスペース（空間）

読者は、任意の同一フィールド（体）上の任意の2つのベクトルスペース（空間）たちに対して、ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成するという命題の記述および証明を得る。

任意の同一フィールド（体）

F

上の任意のベクトルスペース（空間）たち

V_{1}, V_{2}

に対して、ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）

H o m (V_{1}, V_{2}) := {f : V_{1} \to V_{2}}

は

F

上のベクトルスペース（空間）である、ここで、ベクトルスペース（空間）オペレーションは

(r_{1} f_{1} + r_{2} f_{2}) (v) = r_{1} f_{1} (v) + r_{2} f_{2} (v)

、ここで

r_{i} \in F

、

f_{i} \in H o m (V_{1}, V_{2})

、

v \in V_{1}

、と定義される。

r_{1} f_{1} (v) + r_{2} f_{2} (v) \in V_{2}

。したがって、

r_{1} f_{1} + r_{2} f_{2}

は

V_{1}

から to

V_{2}

へのマップ（写像）である。

r_{1} f_{1} + r_{2} f_{2}

はベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）であるか？任意の

r_{3}, r_{4} \in F

および任意の

v_{1}, v_{2} \in V_{1}

に対して、

(r_{1} f_{1} + r_{2} f_{2}) (r_{3} v_{1} + r_{4} v_{2}) = r_{1} f_{1} (r_{3} v_{1} + r_{4} v_{2}) + r_{2} f_{2} (r_{3} v_{1} + r_{4} v_{2}) = r_{1} r_{3} f_{1} (v_{1}) + r_{1} r_{4} f_{1} (v_{2}) + r_{2} r_{3} f_{2} (v_{1}) + r_{2} r_{4} f_{2} (v_{2}) = r_{3} (r_{1} f_{1} (v_{1}) + r_{2} f_{2} (v_{1})) + r_{4} (r_{1} f_{1} (v_{2}) + r_{2} f_{2} (v_{2})) = r_{3} ((r_{1} f_{1} + r_{2} f_{2}) (v_{1})) + r_{4} ((r_{1} f_{1} + r_{2} f_{2}) (v_{2}))

。したがって、はい、

r_{1} f_{1} + r_{2} f_{2}

はベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）である。

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