ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成することの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一フィールド（体）上の任意の2つのベクトルスペース（空間）たちに対して、ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の同一フィールド（体）\(F\)上の任意のベクトルスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)に対して、ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）\(Hom (V_1, V_2) := \{f: V_1 \rightarrow V_2\}\)は\(F\)上のベクトルスペース（空間）である、ここで、ベクトルスペース（空間）オペレーションは\((r_1 f_1 + r_2 f_2) (v) = r_1 f_1 (v) + r_2 f_2 (v)\)、ここで\(r_i \in F\)、\(f_i \in Hom (V_1, V_2)\)、\(v \in V_1\)、と定義される。
2: 証明
\(r_1 f_1 (v) + r_2 f_2 (v) \in V_2\)。したがって、\(r_1 f_1 + r_2 f_2\)は\(V_1\)から to \(V_2\)へのマップ（写像）である。\(r_1 f_1 + r_2 f_2\)はベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）であるか？任意の\(r_3, r_4 \in F\)および任意の\(v_1, v_2 \in V_1\)に対して、\((r_1 f_1 + r_2 f_2) (r_3 v_1 + r_4 v_2) = r_1 f_1 (r_3 v_1 + r_4 v_2) + r_2 f_2 (r_3 v_1 + r_4 v_2) = r_1 r_3 f_1 (v_1) + r_1 r_4 f_1 (v_2) + r_2 r_3 f_2 (v_1) + r_2 r_4 f_2 (v_2) = r_3 (r_1 f_1 (v_1) + r_2 f_2 (v_1)) + r_4 (r_1 f_1 (v_2) + r_2 f_2 (v_2)) = r_3 ( (r_1 f_1 + r_2 f_2) (v_1)) + r_4 ( (r_1 f_1 + r_2 f_2) (v_2))\)。したがって、はい、\(r_1 f_1 + r_2 f_2\)はベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
