222: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）がある

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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V^{\ast }$: $=L(V:F)$
${V^{\ast }}^{\ast }$: $=L(L(V:F):F)$
$J$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}$
$B$: $\in \{V\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$, $=\{b_j|j\in J\}$
$B^{\ast }$: $=B\text{ のデュアルベーシス（基底） }$, $=\{b^j|j\in J\}$
${B^{\ast }}^{\ast }$: $=B^{\ast }\text{ のデュアルベーシス（基底） }$, $=\{{\tilde{b}}_j|j\in J\}$
$f$: $:V\to {V^{\ast }}^{\ast },v^j{b}_j\mapsto \sum _{j\in J}{v}^j{\tilde{b}}_j$


ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
$\wedge$
$f$は$B$の選択に依存しない
$\wedge$
$\mathrm{\forall }v\in V,\mathrm{\forall }w\in V^{\ast }(w(v)=f(v)(w))$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ2: $f$は$B$の選択に依存しないことを見る、別のベーシス（基底）$B^{\prime }$を取り、$B^{\prime }$によって構成されたマップ（写像）が$f$であることを見ることによって: ステップ3: $\mathrm{\forall }v\in V,\mathrm{\forall }w\in V^{\ast }(w(v)=f(v)(w))$であることを見る、$v$、$w$、$f(v)$を当該ベーシス（基底）でもって展開することによって。

ステップ1:

$B^{\ast }$は本当に$V^{\ast }$に対するベーシス（基底）である、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義に対する"注"によって。

${B^{\ast }}^{\ast }$は本当に${V^{\ast }}^{\ast }$に対するベーシス（基底）である、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義に対する"注"によって。

$f$は本当に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

ステップ2:

$f$は$B$の選択に依存しないことを見よう。

$B^{\prime }=\{b_j^{\prime }|j\in J\}$を$V$に対する任意の他のベーシス（基底）としよう。

あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）$M$に対して、$b_j^{\prime }=b_l{M}_j^l$。したがって、$b_j=b_l^{\prime }{M^{-1}}_j^l$。

$B^{\prime }$のデュアルベーシス（基底）$B^{\prime \ast }=\{b^{\prime j}|j\in J\}$は$\{{M^{-1}}_l^j{b}^l\}$である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。

$B^{\prime \ast }$のデュアルベーシス（基底）${B^{\prime \ast }}^{\ast }=\{{\widetilde{b^{\prime }}}_j|j\in J\}$は$\{{\tilde{b}}_l{M}_j^l\}$である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。

$B^{\prime }$に関する当該カノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$f^{\prime }:V\to {V^{\ast }}^{\ast }$は$b_j=b_l^{\prime }{M^{-1}}_j^l$を${\widetilde{b^{\prime }}}_l{M^{-1}}_j^l={\tilde{b}}_m{M}_l^m{M^{-1}}_j^l={\tilde{b}}_m{\delta }_j^m={\tilde{b}}_j$へマップする。

したがって、$f^{\prime }=f$。

ステップ3:

$\mathrm{\forall }v\in V,\mathrm{\forall }w\in V^{\ast }(w(v)=f(v)(w))$であることを見よう。

$v=v^j{b}_j$、$w=w_l{b}^l$、$w(v)=w_l{b}^l(v^j{b}_j)=w_l{v}^j{b}^l(b_j)=w_l{v}^j{\delta }_j^l=w_j{v}^j$。

$f(v)(w)=f(v^j{b}_j)(w_l{b}^l)=v^j{\tilde{b}}_j(w_l{b}^l)=v^j{w}_l{\tilde{b}}_j(b^l)=v^j{w}_l{\delta }_j^l=v^j{w}_j$。

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参考資料

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