有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のダブルデュアルはベクトルスペース（空間）へ 'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルスペース（空間）のデュアルの定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルスペース（空間）は同一次元ベクトルスペース（空間）を構成するという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）から任意の同一次元ベクトルスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のダブルデュアルは元のベクトルスペース（空間）へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）\(V\)に対して、ダブルデュアル\(V^{**}\)は\(V\)へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。
2: 証明
\(V^{**} = Hom (V^*, \mathbb{R})\)、そして、任意の\(f \in Hom (V^{*}, \mathbb{R})\)に対して、\(f: V^{*} \rightarrow \mathbb{R}, f' \mapsto f (f')\)。\(V^{*} = Hom (V, \mathbb{R})\)、そして、任意の\(f' \in V^{*}\)に対して、\(f': V \rightarrow \mathbb{R}, v \mapsto f' (v)\)、それが意味するのは、\(v\)を固定して、あるマップ（写像）\(f'' (v): V^{*} \rightarrow \mathbb{R}, f' \mapsto f' (v)\)がある。\(f'' (v)\)はベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）であるか？任意の\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)および任意の\({f'}_1, {f'}_2 \in V^{*}\)に対して、\(f'' (v) (r_1 {f'}_1 + r_2 {f'}_2) = (r_1 {f'}_1 + r_2 {f'}_2) (v) = r_1 {f'}_1 (v) + r_2 {f'}_2 (v) = r_1 f'' (v) ({f'}_1) + r_2 f'' (v) ({f'}_2)\)。したがって、はい、\(f'' (v)\)はベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）である。したがって、\(\{f'' (v)| v \in V\} \subseteq V^{**}\)。
\(f'' (v)\)は\(v\)に関してリニア（線形）である、それが意味するのは、\(f'' (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 f'' (v_1) + r_2 f'' (v_2)\)、なぜなら、\((f'' (r_1 v_1 + r_2 v_2)) (f') = f' (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 f' (v_1) + r_2 f' (v_2) = r_1 (f'' (v_1)) (f') + r_2 (f'' (v_2)) (f') = (r_1 f'' (v_1) + r_2 f'' (v_2)) (f')\)。
\(V\)は\(d\)次元であるから、あるベーシス（基底）\(b_1, b_2, . . ., b_d\)があり、任意の\(v \in V\)に対して、\(v = v^i b_i\)。\(\{f'' (v)| v \in V\} = \{f'' (v^i b_i)| v^i \in \mathbb{R}\}\)。\(\{f'' (v^i b_i)| v^i \in \mathbb{R}\}\)はベクトルスペース（空間）を構成する、なぜなら、\(r_1 f'' (v_1^i b_i) + r_2 f'' (v_2^i b_i) = r_1 v_1^i f'' (b_i) + r_2 v_2^i f'' (b_i) = (r_1 v_1^i + r_2 v_2^i) f'' (b_i) = f'' ((r_1 v_1^i + r_2 v_2^i) b_i)\)。\(f'' (b_1), f'' (b_2), . . ., f'' (b_d)\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるか？\(c^i f'' (b_i) = 0\)だと仮定する、ここで、\(c^i \in \mathbb{R}\)。\(b'^1, b'^2, . . ., b'^d\)が\(V^*\)に対するデュアルベーシス（基底）であるとき、\((c^i f'' (b_i)) (b'^j) = c^i (f'' (b_i)) (b'^j) = c^i b'^j (b_i) = c^i \delta^j_i = c^j = 0 (b'^j) = 0\)。したがって、はい、\(f'' (b_1), f'' (b_2), . . ., f'' (b_d)\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。\(v^i f'' (b_i) = f'' (v^i b_i)\)は\(\{f'' (v^i b_i)| v^i \in \mathbb{R}\}\)をカバーする。したがって、\(f'' (b_1), f'' (b_2), . . ., f'' (b_d)\)はベーシス（基底）である、そして、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルスペース（空間）は同一次元ベクトルスペース（空間）を構成するという命題によって、\(\{f'' (v^i b_i)| v^i \in \mathbb{R}\}\)は\(d\)次元である。\(V^{**}\)は\(d\)次元ベクトルスペース（空間）であるから、\(\{f'' (v)| v \in V\} = (V^*)^*\)。
任意の\(v_1, v_2 \in V, v_1 \neq v_2\)に対して、\(f'' (v_1) \neq f'' (v_2)\)、なぜなら、\(f'' (v_1) = f'' (v_1^i b_i) = v_1^i f'' (b_i) \neq f'' (v_2) = f'' (v_2^i b_i) = v_2^i f'' (b_i)\)、なぜなら、\(f'' (b_1), f'' (b_2), . . ., f'' (b_d)\)はベーシス（基底）である。
したがって、カノニカルなバイジェクション（全単射）\(f''': (V^*)^* = \{f'' (v)| v \in V\} \rightarrow V\)がある。\(f'''\)はリニア（線形）であるか？\(f''' (r_1 f'' (v_1) + r_2 f'' (v_2)) = f''' (f'' (r_1 v_1 + r_2 v_2)) = r_1 v_1 + r_2 v_2 = r_1 f''' (f'' (v_1)) + r_2 f''' (f'' (v_2))\)。したがって、はい、\(f'''\)はリニア（線形）である。任意の有限次元ベクトルスペース（空間）から任意の同一次元ベクトルスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(f'''\)は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 注
"有限次元ベクトルスペース（空間）のダブルデュアルは元のベクトルスペース（空間）である。"のようにずさんに表現されることが時折あるが、ダブルデュアルは元のベクトルスペース（空間）と同一エンティティではない、2つは別々の意味を持っているから。それらは単に'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）なだけであり、そうしたリレーション（関係）を持っているということが2つのエンティティたちを同一のものとするということはない。
