ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V^*\): \(= L (V: F)\)
\({V^*}^*\): \(= L (L (V: F): F)\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)
\(B^*\): \(= B \text{ のデュアルベーシス（基底） }\), \(= \{b^j \vert j \in J\}\)
\({B^*}^*\): \(= B^* \text{ のデュアルベーシス（基底） }\), \(= \{\widetilde{b}_j \vert j \in J\}\)
\(f\): \(: V \to {V^*}^*, v^j b_j \mapsto \sum_{j \in J} v^j \widetilde{b}_j\)
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(f\)は\(B\)の選択に依存しない
\(\land\)
\(\forall v \in V, \forall w \in V^* (w (v) = f (v) (w))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ2: \(f\)は\(B\)の選択に依存しないことを見る、別のベーシス（基底）\(B'\)を取り、\(B'\)によって構成されたマップ（写像）が\(f\)であることを見ることによって: ステップ3: \(\forall v \in V, \forall w \in V^* (w (v) = f (v) (w))\)であることを見る、\(v\)、\(w\)、\(f (v)\)を当該ベーシス（基底）でもって展開することによって。
ステップ1:
\(B^*\)は本当に\(V^*\)に対するベーシス（基底）である、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義に対する"注"によって。
\({B^*}^*\)は本当に\({V^*}^*\)に対するベーシス（基底）である、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義に対する"注"によって。
\(f\)は本当に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
ステップ2:
\(f\)は\(B\)の選択に依存しないことを見よう。
\(B' = \{b'_j \vert j \in J\}\)を\(V\)に対する任意の他のベーシス（基底）としよう。
あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）\(M\)に対して、\(b'_j = b_l M^l_j\)。したがって、\(b_j = b'_l {M^{-1}}^l_j\)。
\(B'\)のデュアルベーシス（基底）\(B'^* = \{b'^j \vert j \in J\}\)は\(\{{M^{-1}}^j_l b^l\}\)である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
\(B'^*\)のデュアルベーシス（基底）\({B'^*}^* = \{\widetilde{b'}_j \vert j \in J\}\)は\(\{\widetilde{b}_l M^l_j\}\)である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
\(B'\)に関する当該カノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f': V \to {V^*}^*\)は\(b_j = b'_l {M^{-1}}^l_j\)を\(\widetilde{b'}_l {M^{-1}}^l_j = \widetilde{b}_m M^m_l {M^{-1}}^l_j = \widetilde{b}_m \delta^m_j = \widetilde{b}_j\)へマップする。
したがって、\(f' = f\)。
ステップ3:
\(\forall v \in V, \forall w \in V^* (w (v) = f (v) (w))\)であることを見よう。
\(v = v^j b_j\)、\(w = w_l b^l\)、\(w (v) = w_l b^l (v^j b_j) = w_l v^j b^l (b_j) = w_l v^j \delta^l_j = w_j v^j\)。
\(f (v) (w) = f (v^j b_j) (w_l b^l) = v^j \widetilde{b}_j (w_l b^l) = v^j w_l \widetilde{b}_j (b^l) = v^j w_l \delta^l_j = v^j w_j\)。
