236: ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、構成要素トポロジカルスペース（空間）からディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）である

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ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、構成要素トポロジカルスペース（空間）からディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素トポロジカルスペース（空間）から当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$\{T_{\alpha }\}$のセット（集合）およびディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）$T:=\coprod _{\alpha }{T}_{\alpha }$に対して、各インクルージョン（封入）$f_{\alpha }:T_{\alpha }\to T$はコンティニュアス（連続）である。

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2: 証明

任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T$に対して、$U_{\alpha }:=U\cap T_{\alpha }$は$T_{\alpha }$上でオープン（開）である、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義によって。$(f_{\alpha }{)}^{-1}(U)=U_{\alpha }$、なぜなら、任意の$p\in (f_{\alpha }{)}^{-1}(U)$に対して、$p\in T_{\alpha }$および$p\in U$、したがって、$p\in U\cap T_{\alpha }$; 任意の$p\in U_{\alpha }$に対して、$p\in T_{\alpha }$および$p\in U$、$f_{\alpha }(p)\in U$、したがって、$p\in (f_{\alpha }{)}^{-1}(U)$。したがって、$(f_{\alpha }{)}^{-1}(U)$は$T_{\alpha }$上でオープン（開）である。

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参考資料

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