237: プロダクトトポロジー

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プロダクトトポロジーの定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義1
• 2: 定義2
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義1

任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数インデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクト$T:={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、以下のベーシス（基底）$B$、つまり、$T$のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）であって、サブセット（部分集合）たちは${\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$という形のもの全て、ここで、$U_{\alpha }$は$T_{\alpha }$上でオープン（開）で、$U_{\alpha }$たちの内のファイナイト（有限）のもののみが $T_{\alpha }$でない、によってジェネレイテッド（生成された）トポロジー、ここで、$B$の任意の要素は'$T$上のベーシックオープンセット（開集合）'と呼ばれる

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2: 定義2

任意の有限数トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクト$T:=T_1\times T_2\times ...\times T_n$に対して、以下のベーシス（基底）$B$、つまり、$T$のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）であって、サブセット（部分集合）たちは$U_1\times U_2\times ...\times U_n$という形のもの全て、ここで、$U_i$は$T_i$上でオープン（開）である、によってジェネレイテッド（生成された）トポロジー、ここで、$B$の任意の要素は'$T$上のベーシック（基本）オープンセット（開集合）'と呼ばれる

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3: 注

当定義は妥当である、なぜなら、$B$はオープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準の記述2を満たしているから。実際、1)は満たされている、なぜなら、$B$は${\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$または$T_1\times T_2\times ...\times T_n$を含んでいる; 2)は満たされている、なぜなら、任意の以下を満たす$B_1={\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$または$B_1=U_1\times U_2\times ...\times U_n$および$B_2={\times }_{\alpha \in A}{V}_{\alpha }$または$B_2=V_1\times V_2\times ...\times V_n$、つまり、$B_1\cap B_2\ne \mathrm{\varnothing }$、および任意のポイント$p\in B_1\cap B_2$に対して、各$\alpha$に対して$p(\alpha )\in U_{\alpha }\cap V_{\alpha }$または各$i$に対して$p^i\in U_i\cap V_i$、ここで、$p=(p^1,p^2,...,p^n)$、しかし、$U_{\alpha }\cap V_{\alpha }$または$U_i\cap V_i$は$T_{\alpha }$または$T_i$上でオープン（開）であるから、あるオープンセット（開集合）$p(\alpha )\in W_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }\cap V_{\alpha }$、ここで、$W_{\alpha }$のファイナイト（有限）のもののみが$T_{\alpha }$でないまたは$p^i\in W_i\subseteq U_i\cap V_i$があり、$p\in B_3={\times }_{\alpha \in A}{W}_{\alpha }$または$p\in B_3=W_1\times W_2\times ...\times W_n\subseteq B_1\cap B_2$、ここで、$B_3\subseteq B_1\cap B_2$および$B_3\in B$。

オープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準の記述1によって、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$は$T$上でオープン（開）である、もしも、あるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）$C$に対して$S={\cup }_{\gamma \in C}{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\gamma }$または$S={\cup }_{\gamma \in C}{U}_{1,\gamma }\times U_{2,\gamma }\times ,...,\times U_{n,\gamma }$、ここで、$U_{\alpha ,\gamma }\subseteq T_{\alpha }$または$U_{i,\gamma }\subseteq T_i$は$T_{\alpha }$または$T_i$上でオープン（開）であり各$\gamma$に対して$U_{\alpha ,\gamma }$たちのファイナイト（有限）のもののみが$T_{\alpha }$でない、である場合、そしてその場合に限って。

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参考資料

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