プロダクトトポロジーの定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義1
任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数インデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクト\(T := \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、以下のベーシス（基底）\(B\)、つまり、\(T\)のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）であって、サブセット（部分集合）たちは\(\times_{\alpha \in A} U_\alpha\)という形のもの全て、ここで、\(U_\alpha\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）で、\(U_\alpha\)たちの内のファイナイト（有限）のもののみが \(T_\alpha\)でない、によってジェネレイテッド（生成された）トポロジー、ここで、\(B\)の任意の要素は'\(T\)上のベーシックオープンセット（開集合）'と呼ばれる
2: 定義2
任意の有限数トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクト\(T := T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)に対して、以下のベーシス（基底）\(B\)、つまり、\(T\)のサブセット（部分集合）たちのセット（集合）であって、サブセット（部分集合）たちは\(U_1 \times U_2 \times . . . \times U_n\)という形のもの全て、ここで、\(U_i\)は\(T_i\)上でオープン（開）である、によってジェネレイテッド（生成された）トポロジー、ここで、\(B\)の任意の要素は'\(T\)上のベーシック（基本）オープンセット（開集合）'と呼ばれる
3: 注
当定義は妥当である、なぜなら、\(B\)はオープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準の記述2を満たしているから。実際、1)は満たされている、なぜなら、\(B\)は\(\times_{\alpha \in A} T_\alpha\)または\(T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)を含んでいる; 2)は満たされている、なぜなら、任意の以下を満たす\(B_1 = \times_{\alpha \in A} U_\alpha\)または\(B_1 = U_1 \times U_2 \times . . . \times U_n\)および\(B_2 = \times_{\alpha \in A} V_\alpha\)または\(B_2 = V_1 \times V_2 \times . . . \times V_n\)、つまり、\(B_1 \cap B_2 \neq \emptyset\)、および任意のポイント\(p \in B_1 \cap B_2\)に対して、各\(\alpha\)に対して\(p (\alpha) \in U_\alpha \cap V_\alpha\)または各\(i\)に対して\(p^i \in U_i \cap V_i\)、ここで、\(p = (p^1, p^2, . . ., p^n)\)、しかし、\(U_\alpha \cap V_\alpha\)または\(U_i \cap V_i\)は\(T_\alpha\)または\(T_i\)上でオープン（開）であるから、あるオープンセット（開集合）\(p (\alpha) \in W_\alpha \subseteq U_\alpha \cap V_\alpha\)、ここで、\(W_\alpha\)のファイナイト（有限）のもののみが\(T_\alpha\)でないまたは\(p^i \in W_i \subseteq U_i \cap V_i\)があり、\(p \in B_3 = \times_{\alpha \in A} W_\alpha\)または\(p \in B_3 = W_1 \times W_2 \times . . . \times W_n \subseteq B_1 \cap B_2\)、ここで、\(B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\)および\(B_3 \in B\)。
オープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準の記述1によって、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)は\(T\)上でオープン（開）である、もしも、あるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）\(C\)に対して\(S = \cup_{\gamma \in C} \times_{\alpha \in A} U_{\alpha, \gamma}\)または\(S = \cup_{\gamma \in C} U_{1, \gamma} \times U_{2, \gamma} \times, . . ., \times U_{n, \gamma}\)、ここで、\(U_{\alpha, \gamma} \subseteq T_\alpha\)または\(U_{i, \gamma} \subseteq T_i\)は\(T_\alpha\)または\(T_i\)上でオープン（開）であり各\(\gamma\)に対して\(U_{\alpha,\gamma}\)たちのファイナイト（有限）のもののみが\(T_\alpha\)でない、である場合、そしてその場合に限って。
