リアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち間マップ（写像）およびマップ（写像）のグラフをトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、値が独立変数より大きいか小さいかであるというサブセット（部分集合）はオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち間の任意のマップ（写像）および当該マップ（写像）のグラフをトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、値が独立変数より大きい、および以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、値が独立変数より小さい、はオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のリアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち\([r_1, r_2]\)および\([r_3, r_4]\)、任意のマップ（写像）\(f: [r_1, r_2] \rightarrow [r_3, r_4]\)、当該マップ（写像）のグラフ\(T = \{(r, f (r)) \in [r_1, r_2] \times [r_3, r_4]\}\)に\([r_1, r_2] \times [r_3, r_4]\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを付けもの、ここで、\([r_1, r_2] \times [r_3, r_4]\)には\(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\)のサブスペース（部分空間）トポロジーが付けられている、に対して、\(S_1 = \{(r, f (r)) \in T\vert r \lt f (r)\}\)および\(S_2 = \{(r, f (r)) \in T\vert f (r) \lt r\}\)は\(T\)上でオープン（開）である。
2: 証明
\(S_1\)について考えよう。そのオープン（開）性は任意のポイント\(p = (r, f (r)) \in S_1\)の周りに以下を満たすある\(T\)オープンセット（開集合）\(U_p \subset T\)、つまり、\(U_p \subseteq S_1\)、が存在するかの問題である。以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{p-\epsilon} \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{p-\epsilon} \cap T \subseteq S_1\)、があることを示せば十分である、なぜなら、\(B_{p-\epsilon} \cap ([r_1, r_2] \times [r_3, r_4])\)は\([r_1, r_2] \times [r_3, r_4]\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、そして、\(B_{p-\epsilon} \cap T = B_{p-\epsilon} \cap ([r_1, r_2] \times [r_3, r_4]) \cap T\)は\(T\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。\((r_1, r_3)\)と\((r_1 + 1, r_3 + 1)\)を通過する直線の上方の内部エリア内（"内部"は、当該直線が含まれていないことを意味する）にある\(B_{p-\epsilon}\)があることを示せば十分である、なぜなら、当該エリア上では、\(r \lt f (r)\)が成立し、したがって、それは\(B_{p-\epsilon}\)上で成立する、したがって、任意のポイント\(p' \in B_{p-\epsilon} \cap T\)に対して、\(p' \in S_1\)。そうした\(B_{p-\epsilon}\)は実際に存在する、なぜなら、\(p\)は直線上になく、したがって、\(p\)から直線への距離は正の\(d\)であり、任意の\(\epsilon \lt d\)で十分だから。
\(S_2\)も同様である。
