248: リアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち間マップ（写像）およびマップ（写像）のグラフをトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、値が独立変数より大きいか小さいかであるというサブセット（部分集合）はオープン（開）である

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リアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち間マップ（写像）およびマップ（写像）のグラフをトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、値が独立変数より大きいか小さいかであるというサブセット（部分集合）はオープン（開）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち間の任意のマップ（写像）および当該マップ（写像）のグラフをトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、値が独立変数より大きい、および以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、値が独立変数より小さい、はオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のリアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち$[r_1,r_2]$および$[r_3,r_4]$、任意のマップ（写像）$f:[r_1,r_2]\to [r_3,r_4]$、当該マップ（写像）のグラフ$T=\{(r,f(r))\in [r_1,r_2]\times [r_3,r_4]\}$に$[r_1,r_2]\times [r_3,r_4]$のサブスペース（部分空間）トポロジーを付けもの、ここで、$[r_1,r_2]\times [r_3,r_4]$には$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$のサブスペース（部分空間）トポロジーが付けられている、に対して、$S_1=\{(r,f(r))\in T|r<f(r)\}$および$S_2=\{(r,f(r))\in T|f(r)<r\}$は$T$上でオープン（開）である。

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2: 証明

$S_1$について考えよう。そのオープン（開）性は任意のポイント$p=(r,f(r))\in S_1$の周りに以下を満たすある$T$オープンセット（開集合）$U_p\subset T$、つまり、$U_p\subseteq S_1$、が存在するかの問題である。以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{p-ϵ}\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}$、つまり、$B_{p-ϵ}\cap T\subseteq S_1$、があることを示せば十分である、なぜなら、$B_{p-ϵ}\cap ([r_1,r_2]\times [r_3,r_4])$は$[r_1,r_2]\times [r_3,r_4]$上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、そして、$B_{p-ϵ}\cap T=B_{p-ϵ}\cap ([r_1,r_2]\times [r_3,r_4])\cap T$は$T$上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。$(r_1,r_3)$と$(r_1+1,r_3+1)$を通過する直線の上方の内部エリア内（"内部"は、当該直線が含まれていないことを意味する）にある$B_{p-ϵ}$があることを示せば十分である、なぜなら、当該エリア上では、$r<f(r)$が成立し、したがって、それは$B_{p-ϵ}$上で成立する、したがって、任意のポイント$p^{\prime }\in B_{p-ϵ}\cap T$に対して、$p^{\prime }\in S_1$。そうした$B_{p-ϵ}$は実際に存在する、なぜなら、$p$は直線上になく、したがって、$p$から直線への距離は正の$d$であり、任意の$ϵ<d$で十分だから。

$S_2$も同様である。

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参考資料

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