249: アーベリアン加法グループ（群）のサブグループ（群）はグループ（群）のリトラクトである、もしも、別のサブグループ（群）がありグループがサブグループ（群）たちの和である場合、そしてその場合に限って|T.B.P.日本語版

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アーベリアン加法グループ（群）のサブグループ（群）はグループ（群）のリトラクトである、もしも、別のサブグループ（群）がありグループがサブグループ（群）たちの和である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

話題

About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 記述
2: 証明

開始コンテキスト

読者は、グループ（群）の定義を知っている。
読者は、サブグループ（群）の定義を知っている。
読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のアーベリアン加法グループ（群）に対して、任意のサブグループ（群）は当該グループ（群）のリトラクトである、もしも、別のサブグループ（群）があり当該グループが当該サブグループ（群）たちの和である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意のアーベリアン加法グループ（群）

G

に対して、任意のサブグループ（群）

G_{1} \subseteq G

は

G

のリトラクトである、もしも、以下を満たすあるサブグループ（群）

G_{2} \subseteq G

、つまり、

G_{1} \cap G_{2} = {0}

および

G_{1} + G_{2} = G

、がある、それが意味するのは、任意の要素

g \in G

はユニークに

g = g_{1} + g_{2}

である、ここで、

g_{1} \in G_{1}

および

g_{2} \in G_{2}

、場合、そしてその場合に限って。

2: 証明

G_{1} \cap G_{2} = {0}

および

G_{1} + G_{2} = G

と仮定する。あるマップ（写像）

f : G \to G_{1}, g = g_{1} + g_{2} \mapsto g_{1}

を定義しよう。すると、

f |_{G_{1}} : g_{1} \mapsto g_{1}

、アイデンティカル（恒等）マップ（写像）。

f

はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）か？任意の

g, h \in G

に対して、

g = g_{1} + g_{2}

および

h = h_{1} + h_{2}

、

f (g + h) = f (g_{1} + g_{2} + h_{1} + h_{2}) = f (g_{1} + h_{1} + g_{2} + h_{2}) = g_{1} + h_{1} = f (g_{1} + g_{2}) + f (h_{1} + h_{2}) = f (g) + f (h)

、したがって、はい。したがって、

f

はリトラクションであり

G_{1}

は

G

のリトラクトである。

G_{1}

はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）

f : G \to G_{1}

による

G

のリトラクトであると仮定する。

G_{2}

を

{g_{2} \in G | f (g_{2}) = 0}

として定義しよう。

G_{2}

はグループ（群）か？任意の

g_{2} \in G_{2}

に対して、

0 = f (0) = f (g_{2} - g_{2}) = f (g_{2}) + f (- g_{2}) = f (- g_{2})

、ここで、

f (0) = 0

、なぜなら、

0 \in G_{1}

、したがって、

- g_{2} \in G_{2}

。任意の

g_{2}, h_{2} \in G_{2}

に対して、

f (g_{2} + h_{2}) = f (g_{2}) + f (h_{2}) = 0

、したがって、

g_{2} + h_{2} \in G_{2}

。したがって、

G_{2}

は実際にグループ（群）である。

G = G_{1} + G_{2}

？任意の

g \in G

に対して、

g = f (g) + g - f (g)

、

f (g - f (g)) = f (g) + f (- f (g)) = f (g) - f (g) = 0

、ここで、

f (- f (g)) = - f (g)

、なぜなら、

- f (g) \in G_{1}

、したがって、

g = g_{1} + g_{2}

、ここで、

g_{1} = f (g) \in G_{1}

および

g_{2} = g - f (g) \in G_{2}

。その分割はユニークか？

g = g_{1} + g_{2} = h_{1} + h_{2}

だと仮定しよう。

f (g) = f (g_{1}) + f (g_{2}) = g_{1} = f (h_{1}) + f (h_{2}) = h_{1}

;

g_{2} = g - g_{1} = g - h_{1} = h_{2}

、したがって、ユニークである。

G_{1} \cap G_{2} = {0}

、なぜなら、任意の

0 \neq g_{1} \in G_{1}

に対して、

f (g_{1}) = g_{1} \neq 0

、したがって、

g_{1} \notin G_{2}

。

参考資料

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2023年3月26日日曜日