アーベリアン加法グループ（群）のサブグループ（群）はグループ（群）のリトラクトである、もしも、別のサブグループ（群）がありグループがサブグループ（群）たちの和である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、サブグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアーベリアン加法グループ（群）に対して、任意のサブグループ（群）は当該グループ（群）のリトラクトである、もしも、別のサブグループ（群）があり当該グループが当該サブグループ（群）たちの和である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のアーベリアン加法グループ（群）\(G\)に対して、任意のサブグループ（群）\(G_1 \subseteq G\)は\(G\)のリトラクトである、もしも、以下を満たすあるサブグループ（群）\(G_2 \subseteq G\)、つまり、\(G_1 \cap G_2 = \{0\}\)および\(G_1 + G_2 = G\)、がある、それが意味するのは、任意の要素\(g \in G\)はユニークに\(g = g_1 + g_2\)である、ここで、\(g_1 \in G_1\)および\(g_2 \in G_2\)、場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(G_1 \cap G_2 = \{0\}\)および\(G_1 + G_2 = G\)と仮定する。あるマップ（写像）\(f: G \rightarrow G_1, g = g_1 + g_2 \mapsto g_1\)を定義しよう。すると、\(f\vert_{G_1}: g_1 \mapsto g_1\)、アイデンティカル（恒等）マップ（写像）。\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）か？任意の\(g, h \in G\)に対して、\(g = g_1 + g_2\)および\(h = h_1 + h_2\)、\(f (g + h) = f (g_1 + g_2 + h_1 + h_2) = f (g_1 + h_1 + g_2 + h_2) = g_1 + h_1 = f (g_1 + g_2) + f (h_1 + h_2) = f (g) + f (h)\)、したがって、はい。したがって、\(f\)はリトラクションであり\(G_1\)は\(G\)のリトラクトである。
\(G_1\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: G \rightarrow G_1\)による\(G\)のリトラクトであると仮定する。\(G_2\)を\(\{g_2 \in G\vert f (g_2) = 0\}\)として定義しよう。\(G_2\)はグループ（群）か？任意の\(g_2 \in G_2\)に対して、\(0 = f (0) = f (g_2 - g_2) = f (g_2) + f (- g_2) = f (- g_2)\)、ここで、\(f (0) = 0\)、なぜなら、\(0 \in G_1\)、したがって、\(- g_2 \in G_2\)。任意の\(g_2, h_2 \in G_2\)に対して、\(f (g_2 + h_2) = f (g_2) + f (h_2) = 0\)、したがって、\(g_2 + h_2 \in G_2\)。したがって、\(G_2\)は実際にグループ（群）である。\(G = G_1 + G_2\)？任意の\(g \in G\)に対して、\(g = f (g) + g - f (g)\)、\(f (g - f (g)) = f (g) + f (- f (g)) = f (g) - f (g) = 0\)、ここで、\(f (- f (g)) = - f (g)\)、なぜなら、\(- f (g) \in G_1\)、したがって、\(g = g_1 + g_2\)、ここで、\(g_1 = f (g) \in G_1\)および\(g_2 = g - f (g) \in G_2\)。その分割はユニークか？\(g = g_1 + g_2 = h_1 + h_2\)だと仮定しよう。\(f (g) = f (g_1) + f (g_2) = g_1 = f (h_1) + f (h_2) = h_1\); \(g_2 = g - g_1 = g - h_1 = h_2\)、したがって、ユニークである。\(G_1 \cap G_2 = \{0\}\)、なぜなら、任意の\(0 \neq g_1 \in G_1\)に対して、\(f (g_1) = g_1 \neq 0\)、したがって、\(g_1 \notin G_2\)。
