238: クローズドセット（閉集合）たちのプロダクトはプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）である|T.B.P.日本語版

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クローズドセット（閉集合）たちのプロダクトはプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）であることの記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

読者は、クローズドセット（閉集合）たち（各構成要素トポロジカルスペース（空間）から1つ）の任意のプロダクトは、対応するプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）

T := T_{1} \times T_{2} \times . . . \times T_{n}

、任意のクローズドセット（閉集合）たち

C_{i} \subseteq T_{i}

に対して、

C_{1} \times C_{2} \times . . . \times C_{n} \subseteq T

は

T

上でクローズド（閉）である。

C_{1} \times C_{2} \times . . . \times C_{n} = (T_{1} ∖ U_{1}) \times (T_{2} ∖ U_{2}) \times . . . \times (T_{n} ∖ U_{n})

、ここで

U_{i} \subseteq T_{i}

は

T_{i}

上でオープン（開）である。

(T_{1} ∖ U_{1}) \times (T_{2} ∖ U_{2}) \times . . . \times (T_{n} ∖ U_{n}) = T_{1} \times T_{2} \times . . . \times T_{n} ∖ ((U_{1} \times T_{2} \times . . . \times T_{n}) \cup (T_{1} \times U_{2} \times . . . \times T_{n}) \cup . . . \cup (T_{1} \times T_{2} \times . . . \times U_{n}))

T_{1} \times T_{2} \times . . . \times U_{i} \times . . . \times T_{n}

はオープン（開）であるから、

((U_{1} \times T_{2} \times . . . \times T_{n}) \cup (T_{1} \times U_{2} \times . . . \times T_{n}) \cup . . . \cup (T_{1} \times T_{2} \times . . . \times U_{n}))

はオープン（開）である。

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