クローズドサブセット（閉部分集合）たちのプロダクトはプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たちのプロダクトはクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(\{C_j \in \{T_j \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\times_{j \in J} C_j \in \{\times_{j \in J} T_j \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C_j = T_j \setminus U_j\)および\(\times_{j \in J} C_j = \times_{j \in J} (T_j \setminus U_j) = (\times_{j \in J} T_j) \setminus (\cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j})\)、ここで、\(S^`_{j', j'} = U_{j'}\)および\(S^`_{j', j} = T_j\)、各\(j \in J \setminus \{j'\}\)に対して、であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(j \in J\)に対して、\(C_j = T_j \setminus U_j\)、ここで、\(U_j \subseteq T_j\)はあるオープンサブセット（開部分集合）である。
\(\times_{j \in J} C_j = \times_{j \in J} (T_j \setminus U_j) = (\times_{j \in J} T_j) \setminus (\cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j})\)、ここで、\(S^`_{j', j'} = U_{j'}\)および\(S^`_{j', j} = T_j\)、各\(j \in J \setminus \{j'\}\)に対して、任意のプロダクトセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの\(1\)つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ2:
各\(j' \in J\)に対して、\(\times_{j \in J} S^`_{j', j} \subseteq \times_{j \in J} T_j\)はオープン（開）である、なぜなら、各\(S^`_{j', j}\)はオープン（開）であり、\(S^`_{j', j}\)たちの内のファイナイト（有限）（実のところ、1）個だけのものが\(T_j\)たちでない、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。
\(\cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j}\)はオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのあるユニオン（和集合）として。
したがって、\((\times_{j \in J} T_j) \setminus (\cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j})\)はクローズド（閉）である。
したがって、\(\times_{j \in J} C_j\)はクローズド（閉）である。
