クローズドセット（閉集合）たちのプロダクトはプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クローズドセット（閉集合）たち（各構成要素トポロジカルスペース（空間）から1つ）の任意のプロダクトは、対応するプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T := T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)、任意のクローズドセット（閉集合）たち\(C_i \subseteq T_i\)に対して、\(C_1 \times C_2 \times . . . \times C_n \subseteq T\)は\(T\)上でクローズド（閉）である。
2: 証明
\(C_1 \times C_2 \times . . . \times C_n = (T_1 \setminus U_1) \times (T_2 \setminus U_2) \times . . . \times (T_n \setminus U_n)\)、ここで\(U_i \subseteq T_i\)は\(T_i\)上でオープン（開）である。\((T_1 \setminus U_1) \times (T_2 \setminus U_2) \times . . . \times (T_n \setminus U_n) = T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n \setminus ((U_1 \times T_2 \times . . . \times T_n) \cup (T_1 \times U_2 \times . . . \times T_n) \cup . . . \cup (T_1 \times T_2 \times . . . \times U_n))\)、任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス各構成要素セット（集合）毎に、 セット（集合）全体たちの内の1つが対応サブセット（部分集合）で置き換えられたプロダクトたちのユニオン（和集合）であるという命題によって。各\(T_1 \times T_2 \times . . . \times U_i \times . . . \times T_n\)はオープン（開）であるから、\(((U_1 \times T_2 \times . . . \times T_n) \cup (T_1 \times U_2 \times . . . \times T_n) \cup . . . \cup (T_1 \times T_2 \times . . . \times U_n))\)はオープン（開）である。
