2022年8月21日日曜日

118: %カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）

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%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義

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この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
C: ∈{ 全てのカテゴリーたち }
O1: ∈Obj(C)
O2: ∈Obj(C)
f1: ∈Mor(O1,O2)
f2: ∈Mor(O2,O1)
∗(f1,f2):
//

コンディションたち:
f2∘f1=idO1
∧
f1∘f2=idO2
//

2: 自然言語記述


任意のカテゴリーC、任意のオブジェクトO1∈Obj(C)、任意のオブジェクトO2∈Obj(C)に対して、以下を満たす任意のモーフィズム（射）たちペアf1∈Mor(O1,O2)およびf2∈Mor(O2,O1)、つまり、f2∘f1=idO1およびf1∘f2=idO2

3: 注


'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の頻繁に見られるある定義は、当該グループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）がバイジェクティブ（全単射）であることのみを要求するが、その理由は、インバース（逆）がグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であることをそれが保証することである、しかし、'アイソモーフィズム（同形写像）'は、任意のカテゴリーに適用される、インバース（逆）がホモモーフィズム（準同形写像）であることを要求する一般的な概念である。もしも、グループ（群）が、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のインバース（逆）がグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという性質をたまたま持っているとしても、それは結果にすぎない。'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義は、不可避に、インバース（逆）がグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを要求し、バイジェクティブ（全単射）であることがインバース（逆）がグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを保証するという事実は、1つの命題であり、それを根拠として定義を歪めるべきではない。

例えば、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'カテゴリーに対して、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）は、必ずしも'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ではない。

あるマップ（写像）たちペアに対してしばしば単に"アイソモーフィズム（同形写像"と呼ばれるが、任意のマップ（写像）たちペアは決して単に"アイソモーフィズム"であることはなく、'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、等である、当該マップ（写像）たちがどのカテゴリーのモーフィズムたちだとみなされているかに依存して、それが、本記事のタイトルが"%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）"（"%カテゴリー名%"をプレースホルダーとして）である理由である。

例えば、2つのベクトルスペース（空間）間のあるバイジェクティブマップ（全単射）とそのインバース（逆）は'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるが、'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ではないかもしれない、それらマップ（写像）たちがリニア（線形）でなくて。

しばしば、マップ（写像）たちペアの1つが'%カテゴリー名%'アイソモーフィズム（同形写像）だと呼ばれる、インバース（逆）マップ（写像）が暗黙的に想定されて。

参考資料
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