%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義
話題
About: カテゴリー
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カテゴリーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( C\): \(\in \{\text{ 全てのカテゴリーたち }\}\)
\( O_1\): \(\in Obj (C)\)
\( O_2\): \(\in Obj (C)\)
\( f_1\): \(\in Mor (O_1, O_2)\)
\( f_2\): \(\in Mor (O_2, O_1)\)
\(*(f_1, f_2)\):
//
コンディションたち:
\(f_2 \circ f_1 = id_{O_1}\)
\(\land\)
\(f_1 \circ f_2 = id_{O_2}\)
//
2: 自然言語記述
任意のカテゴリー\(C\)、任意のオブジェクト\(O_1 \in Obj (C)\)、任意のオブジェクト\(O_2 \in Obj (C)\)に対して、以下を満たす任意のモーフィズム（射）たちペア\(f_1 \in Mor (O_1, O_2)\)および\(f_2 \in Mor (O_2, O_1)\)、つまり、\(f_2 \circ f_1 = id_{O_1}\)および\(f_1 \circ f_2 = id_{O_2}\)
3: 注
'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の頻繁に見られるある定義は、当該グループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）がバイジェクティブ（全単射）であることのみを要求するが、その理由は、インバース（逆）がグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であることをそれが保証することである、しかし、'アイソモーフィズム（同形写像）'は、任意のカテゴリーに適用される、インバース（逆）がホモモーフィズム（準同形写像）であることを要求する一般的な概念である。もしも、グループ（群）が、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のインバース（逆）がグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという性質をたまたま持っているとしても、それは結果にすぎない。'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義は、不可避に、インバース（逆）がグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを要求し、バイジェクティブ（全単射）であることがインバース（逆）がグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを保証するという事実は、1つの命題であり、それを根拠として定義を歪めるべきではない。
例えば、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'カテゴリーに対して、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）は、必ずしも'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ではない。
あるマップ（写像）たちペアに対してしばしば単に"アイソモーフィズム（同形写像"と呼ばれるが、任意のマップ（写像）たちペアは決して単に"アイソモーフィズム"であることはなく、'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、等である、当該マップ（写像）たちがどのカテゴリーのモーフィズムたちだとみなされているかに依存して、それが、本記事のタイトルが"%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）"（"%カテゴリー名%"をプレースホルダーとして）である理由である。
例えば、2つのベクトルスペース（空間）間のあるバイジェクティブマップ（全単射）とそのインバース（逆）は'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるが、'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ではないかもしれない、それらマップ（写像）たちがリニア（線形）でなくて。
しばしば、マップ（写像）たちペアの1つが'%カテゴリー名%'アイソモーフィズム（同形写像）だと呼ばれる、インバース（逆）マップ（写像）が暗黙的に想定されて。
