トポロジカルスペース（空間）たちの有限プロダクトはトポロジカルスペース（空間）たちの逐次プロダクトたちに等しいことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）たちのプロダクトの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限数トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトは当該トポロジカルスペース（空間）たちの逐次プロダクトたちに等しいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2, . . ., T_n\)に対して、プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)は逐次プロダクトたち\(( . . . (T_1 \times T_2) . . . ) \times T_n\)に等しい。
2: 証明
セット（集合）たちのプロダクトの意味で、\(T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)は\(( . . . (T_1 \times T_2) . . . ) \times T_n\)以外の何物でもない。
第一に、\(n = 3\)というケースのことを考えよう。\(T_1 \times T_2 \times T_3\)上の任意のオープンセット（開集合）\(U\)は\(U = \cup_\alpha (U_{1-\alpha} \times U_{2-\alpha} \times U_{3-\alpha})\)である、プロダクトトポロジーの定義によって。\((T_1 \times T_2) \times T_n\)上の任意のオープンセット（開集合）\(U'\)は\(U' = \cup_\beta (\cup_{\gamma} (U_{1-\beta-\gamma} \times U_{2-\beta-\gamma}) \times U_{3-\beta})\)である、プロダクトトポロジーの定義によって。
\(U\)を\(U'\)によって実現するには、\(\{i-\beta-\gamma\}\)を各\(\beta\)に対して1要素であるように取ればよい、すると、\(U' = \cup_\beta ((U_{1-\beta-1} \times U_{2-\beta-1}) \times U_{3-\beta}) = \cup_\beta (U_{1-\beta-1} \times U_{2-\beta-1} \times U_{3-\beta})\)、そして、\(\{U_{i-\beta-1}\}\)および\(\{U_{3-\beta}\}\)を\(\{U_{i-\alpha}\}\)であると取ればよい。
\(U'\)を\(U\)によって実現するには、いくつかの\(U_{3-\alpha}\)たちをいくつか複数の\(\alpha\)たちに対して同一であるように取ればよい、すると、新たなインデックスたちセット（集合）\(\{\beta-\gamma\}\)を\(\{U_{i-\beta-\gamma}\} = \{U_{i-\alpha}\}\)、ここで、\(U_{3-\beta-\gamma}\)たちは同じ\(\beta\)に対して同じ、のように選べばよい、すると、\(U = \cup_\alpha (U_{1-\alpha} \times U_{2-\alpha} \times U_{3-\alpha}) = \cup_{\beta-\gamma} (U_{1-\beta-\gamma} \times U_{2-\beta-\gamma} \times U_{3-\beta-\gamma}) = \cup_{\beta} (\cup_{\gamma} (U_{1-\beta-\gamma} \times U_{2-\beta-\gamma}) \times U_{3-\beta})\)、ここで、\(U_{3-\beta-\gamma}\)は\(U_{3-\beta}\)のように書かれている、それは実際には\(\gamma\)に依存しないから。
したがって、それら2つのトポロジーたちは同一である。
明らかに、任意の\(n\)のケースも同様に証明できる。
