トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、クローズドセット（閉集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、そのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、当該コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、\(T\)はコンパクトである、もしも、そのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクション\(S := \{C_\alpha\}\)で任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、当該コレクションのインターセクション（共通集合）\(\cap C_\alpha\)が空でない場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(\cap C_\alpha \neq \emptyset\)だと仮定しよう。任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha\}\)に対して、\(S := \{T \setminus U_\alpha\}\)のことを考えよう。もしも、以下を満たす有限サブセット（部分集合）\(\{T \setminus U_i\}\)、つまり、\(\cap_i (T \setminus U_i) = \emptyset\)がなかったら、\(\cap_\alpha (T \setminus U_\alpha) \neq \emptyset\)、仮定によって、すると、あるポイント\(p \in \cap_\alpha (T \setminus U_\alpha)\)があることになる、したがって、各\(\alpha\)に対して\(p \in T \setminus U_\alpha\)、各\(\alpha\)に対して\(p \notin U_\alpha\)、したがって、\(\{U_\alpha\}\)はオープンカバー（開被覆）ではないということになる、矛盾、したがって、以下を満たすある有限サブセット（部分集合）\(\{T \setminus U_i\}\)がある、つまり、\(\cap_i (T \setminus U_i) = \emptyset\)。すると、任意のポイント\(p \in T\)に対して、もしも、ある\(i\)に対して\(p \in T \setminus U_i\)であれば、ある\(j \neq i\)に対して\(p \notin T \setminus U_j\)、すると、\(p \in U_j\); もしも、ある\(i\)に対して\(p \notin T \setminus U_i\)であれば、\(p \in U_i\); したがって、いずれにせよ、\(\{U_i\}\)は\(T\)をカバーする。したがって、任意のオープンカバー（開被覆）に対してある有限サブカバーがある。
\(T\)はコンパクトであると仮定する。\(\cap C_\alpha = \emptyset\)であったと仮定しよう。\(\{T \setminus C_\alpha\}\)は\(T\)をカバーすることになる、なぜなら、任意のポイント\(p \in T\)に対して、ある\(\alpha\)に対して\(p \notin C_\alpha\)、したがって、\(p \in T \setminus C_\alpha\)。ある有限サブカバー\(\{T \setminus C_i\}\)があることになる、しかし、任意のポイント\(p \in T\)に対して、ある\(i\)に対して\(p \in T \setminus C_i\)、\(p \notin C_i\)、したがって、\(p \notin \cap_i C_i\)、したがって、いかなるポイントも\(\cap_i C_i\)に属さない、したがって、\(\cap_i C_i = \emptyset\)、矛盾。
