270: トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、クローズドセット（閉集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って

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トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、クローズドセット（閉集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、そのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、当該コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、$T$はコンパクトである、もしも、そのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクション$S:=\{C_{\alpha }\}$で任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、当該コレクションのインターセクション（共通集合）$\cap C_{\alpha }$が空でない場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$\cap C_{\alpha }\ne \mathrm{\varnothing }$だと仮定しよう。任意のオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }\}$に対して、$S:=\{T\setminus U_{\alpha }\}$のことを考えよう。もしも、以下を満たす有限サブセット（部分集合）$\{T\setminus U_i\}$、つまり、${\cap }_i(T\setminus U_i)=\mathrm{\varnothing }$がなかったら、${\cap }_{\alpha }(T\setminus U_{\alpha })\ne \mathrm{\varnothing }$、仮定によって、すると、あるポイント$p\in {\cap }_{\alpha }(T\setminus U_{\alpha })$があることになる、したがって、各$\alpha$に対して$p\in T\setminus U_{\alpha }$、各$\alpha$に対して$p\notin U_{\alpha }$、したがって、$\{U_{\alpha }\}$はオープンカバー（開被覆）ではないということになる、矛盾、したがって、以下を満たすある有限サブセット（部分集合）$\{T\setminus U_i\}$がある、つまり、${\cap }_i(T\setminus U_i)=\mathrm{\varnothing }$。すると、任意のポイント$p\in T$に対して、もしも、ある$i$に対して$p\in T\setminus U_i$であれば、ある$j\ne i$に対して$p\notin T\setminus U_j$、すると、$p\in U_j$; もしも、ある$i$に対して$p\notin T\setminus U_i$であれば、$p\in U_i$; したがって、いずれにせよ、$\{U_i\}$は$T$をカバーする。したがって、任意のオープンカバー（開被覆）に対してある有限サブカバーがある。

$T$はコンパクトであると仮定する。$\cap C_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$であったと仮定しよう。$\{T\setminus C_{\alpha }\}$は$T$をカバーすることになる、なぜなら、任意のポイント$p\in T$に対して、ある$\alpha$に対して$p\notin C_{\alpha }$、したがって、$p\in T\setminus C_{\alpha }$。ある有限サブカバー$\{T\setminus C_i\}$があることになる、しかし、任意のポイント$p\in T$に対して、ある$i$に対して$p\in T\setminus C_i$、$p\notin C_i$、したがって、$p\notin {\cap }_i{C}_i$、したがって、いかなるポイントも${\cap }_i{C}_i$に属さない、したがって、${\cap }_i{C}_i=\mathrm{\varnothing }$、矛盾。

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参考資料

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