2023年5月28日日曜日

288: オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションおよびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）のイメージ（像）に対して、イメージ（像）のユニオン（和集合）はレンジ（余域）の中にいる

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オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションおよびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）のイメージ（像）に対して、イメージ（像）のユニオン（和集合）はレンジ（余域）の中にいることの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションおよびドメイン（定義域）の任意の空でないサブセット（部分集合）のイメージ（像）に対して、当該イメージ（像）のユニオン（和集合）はレンジ（余域）の中にいるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションf:O→O、ここで、Oは全オーディナル（順序）数たちコレクション、全オーディナル（順序）数たちコレクションの任意のサブセット（部分集合）I⊆O、S={f(o)|o∈I}⊆f(O)に対して、Sのユニオン（和集合）はレンジ（値域）内にいる、つまり、∃o′∈O,∪S=∪o∈If(o)=f(o′)。

2: 証明


Iはバウンデッド（範囲限定されている）である、オーディナル（順序）数たちの任意のアンバウンデッドな（範囲限定されていない）コレクションはセット（集合）ではないという命題によって。2つの可能性がある: 1) Iは最大値mを持つ 2) Iは最大値でないサプリマム（上限値）mを持つ、オーディナル（順序）数たちの任意のバウンデッドな（範囲限定された）コレクションはサプリマム（上限値）を持つという命題によって。

1)に対して、∪o∈If(o)=f(m)、なぜなら、m∈Iおよび任意のo∈Iに対して、(o∈mおよびf(o)∈f(m))または(o=mおよびf(o)=f(m))、それが含意するのは。f(o)⊆f(m)、任意の2つのオーディナル（順序）数たちに対して、一方は他方の真正サブセット（部分集合）である、もしも、前者が後者のメンバーである場合、そしてその場合に限って、という命題によって、その一方で、f(o)=f(m)を満たすo∈Iがある。

2)に対して、mは実のところリミットオーディナル（順序）数である、なぜなら、そうでなければ、mはサクセッサーオーディナル（順序）数だということになる（mは0ではあり得ない）、しかし、すると、あるm′に対して、m=m′+、そして、m′はIの中にいなければならないことになる、なぜなら、そうでなければ、m′はmの代わりにサプリマム（上限値）だということになる、しかし、m′はIの中にいることはできない、なぜなら、m′は最大値だということになる、矛盾。したがって、f(m)=∪o∈mf(o)、コンティニュアス（連続）性によって。実のところ、∪o∈If(o)=∪o∈mf(o)、なぜなら、任意のp∈∪o∈If(o)に対して、以下を満たすあるo′∈I、つまり、p∈f(o′)、がある、しかし、o′∈m、なぜなら、mはサプリマム（上限値）である、したがって、p∈∪o∈mf(o); 任意のp∈∪o∈mf(o)に対して、以下を満たすあるo′∈m、つまり、p∈f(o′)、がある、しかし、mはサプリマム（上限値）であるから、以下を満たすあるo″∈I、つまり、o′∈o″∈m、がある（なぜなら。そうでなければ、o'はサプリマム（上限値）だということになる）、すると、f(o′)⊂f(o″)、したがって、p∈f(o′)⊂f(o″); したがって、p∈∪o∈If(o)。

リプレイスメント（置換）公理によって、Iはセット（集合）であるという要求は、Sはセット（集合）であるという要求に等しい: もしも、Iがセット（集合）であれば、Sはセット（集合）である; もしも、Sがセット（集合）であれば、fはインジェクティブ（単射）であるから、Sからのインバース（逆）f−1はリプレイスメント（置換）公理の妥当なフォーミュラとなる、したがって、Iはセット（集合）である。

3: 注


"オペレーション"という用語が'マップ（写像）'または'ファンクション（関数）'の代わりにここで使われている理由は、それは、セット（集合）からセット（集合）の中へのものではないから。

'インジェクション（単射）'の私の定義はマップ（写像）についてのものであるが、用語"インジェクティブ（単射）"がここで使われている、fは本当にはマップ（写像）ではないにもかかわらず、実際上の混乱は起こさないであろうから。

参考資料
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