オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションおよびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）のイメージ（像）に対して、イメージ（像）のユニオン（和集合）はレンジ（余域）の中にいることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、モノトーン(単調)オペレーションの定義を知っている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクション上のコンティニュアス（連続）オペレーションの定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちの任意のアンバウンデッドな（範囲限定されていない）コレクションはセット（集合）ではないという命題を認めている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちの任意のバウンデッドな（範囲限定された）コレクションはサプリマム（上限値）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意の2つのオーディナル（順序）数たちに対して、一方は他方の真正サブセット（部分集合）である、もしも、前者が後者のメンバーである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションおよびドメイン（定義域）の任意の空でないサブセット（部分集合）のイメージ（像）に対して、当該イメージ（像）のユニオン（和集合）はレンジ（余域）の中にいるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーション\(f: O \rightarrow O\)、ここで、\(O\)は全オーディナル（順序）数たちコレクション、全オーディナル（順序）数たちコレクションの任意のサブセット（部分集合）\(I \subseteq O\)、\(S = \{f (o)\vert o \in I\} \subseteq f (O)\)に対して、\(S\)のユニオン（和集合）はレンジ（値域）内にいる、つまり、\(\exists o' \in O, \cup S = \cup_{o \in I} f (o) = f (o')\)。
2: 証明
\(I\)はバウンデッド（範囲限定されている）である、オーディナル（順序）数たちの任意のアンバウンデッドな（範囲限定されていない）コレクションはセット（集合）ではないという命題によって。2つの可能性がある: 1) \(I\)は最大値\(m\)を持つ 2) \(I\)は最大値でないサプリマム（上限値）\(m\)を持つ、オーディナル（順序）数たちの任意のバウンデッドな（範囲限定された）コレクションはサプリマム（上限値）を持つという命題によって。
1)に対して、\(\cup_{o \in I} f (o) = f (m)\)、なぜなら、\(m \in I\)および任意の\(o \in I\)に対して、(\(o \in m\)および\(f (o) \in f (m)\))または(\(o = m\)および\(f (o) = f (m)\))、それが含意するのは。\(f (o) \subseteq f (m)\)、任意の2つのオーディナル（順序）数たちに対して、一方は他方の真正サブセット（部分集合）である、もしも、前者が後者のメンバーである場合、そしてその場合に限って、という命題によって、その一方で、\(f (o) = f (m)\)を満たす\(o \in I\)がある。
2)に対して、\(m\)は実のところリミットオーディナル（順序）数である、なぜなら、そうでなければ、\(m\)はサクセッサーオーディナル（順序）数だということになる（\(m\)は\(0\)ではあり得ない）、しかし、すると、ある\(m'\)に対して、\(m = m'^+\)、そして、\(m'\)は\(I\)の中にいなければならないことになる、なぜなら、そうでなければ、\(m'\)は\(m\)の代わりにサプリマム（上限値）だということになる、しかし、\(m'\)は\(I\)の中にいることはできない、なぜなら、\(m'\)は最大値だということになる、矛盾。したがって、\(f (m) = \cup_{o \in m} f (o)\)、コンティニュアス（連続）性によって。実のところ、\(\cup_{o \in I} f (o) = \cup_{o \in m} f (o)\)、なぜなら、任意の\(p \in \cup_{o \in I} f (o)\)に対して、以下を満たすある\(o' \in I\)、つまり、\(p \in f (o')\)、がある、しかし、\(o' \in m\)、なぜなら、\(m\)はサプリマム（上限値）である、したがって、\(p \in \cup_{o \in m} f (o)\); 任意の\(p \in \cup_{o \in m} f (o)\)に対して、以下を満たすある\(o' \in m\)、つまり、\(p \in f (o')\)、がある、しかし、\(m\)はサプリマム（上限値）であるから、以下を満たすある\(o'' \in I\)、つまり、\(o' \in o'' \in m\)、がある（なぜなら。そうでなければ、o'はサプリマム（上限値）だということになる）、すると、\(f (o') \subset f (o'')\)、したがって、\(p \in f (o') \subset f (o'')\); したがって、\(p \in \cup_{o \in I} f (o)\)。
リプレイスメント（置換）公理によって、\(I\)はセット（集合）であるという要求は、\(S\)はセット（集合）であるという要求に等しい: もしも、\(I\)がセット（集合）であれば、\(S\)はセット（集合）である; もしも、\(S\)がセット（集合）であれば、\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(S\)からのインバース（逆）\(f^{-1}\)はリプレイスメント（置換）公理の妥当なフォーミュラとなる、したがって、\(I\)はセット（集合）である。
3: 注
"オペレーション"という用語が'マップ（写像）'または'ファンクション（関数）'の代わりにここで使われている理由は、それは、セット（集合）からセット（集合）の中へのものではないから。
'インジェクション（単射）'の私の定義はマップ（写像）についてのものであるが、用語"インジェクティブ（単射）"がここで使われている、\(f\)は本当にはマップ（写像）ではないにもかかわらず、実際上の混乱は起こさないであろうから。
