トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量空間）へのマップ（写像）に対して、クローズドセット（閉集合）のイメージ（像）はドメイン（定義域）のイメージ（像）上でクローズド（閉）である、もしも、クローズドセット（閉集合）上の任意のシーケンスでシーケンスのイメージ（像）がドメイン（定義域）のイメージ（像）上で収束するものに対して、収束ポイントがクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）上にいる場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量空間）への任意のマップ（写像）に対して、任意のクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）はドメイン（定義域）のイメージ（像）上でクローズド（閉）である、もしも、当該クローズドセット（閉集合）上の任意のシーケンスでシーケンスのイメージ（像）がドメイン（定義域）のイメージ（像）上で収束するものに対して、当該収束ポイントが当該クローズドセット（閉集合）のイメージ（像）上にいる場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)、任意のメトリックスペース（計量空間）\(T_2\)、任意のマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、任意のクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）\(f (C)\)は\(f (T_1)\)上でクローズド（閉）である、もしも、\(C\)上の以下を満たす任意のシーケンス\(s: N \rightarrow C\)、つまり、それに対して、\(s\)のイメージ（像）\(f (s (n))\)は\(f (T_1)\)上で収束する、に対して、当該収束ポイント\(lim_{n \rightarrow \infty} f (s (n))\)は\(f (C)\)上にいる、つまり、\(lim_{n \rightarrow \infty} f (s (n)) \in f (C)\)、場合。
2: 証明
\(C\)上の全てのシーケンスたちのイメージ（像）たちのコレクション\(\{f (s)\}\)は\(f (C)\)上の全てのシーケンスたちを代表する、なぜなら、任意の\(p \in f (C)\)に対して、ある\(p' \in C\)に対して\(p = f (p')\)、そして、\(f (C)\)上の任意のシーケンス\(s': N \rightarrow f (C)\)は\(s' (n) = f (s (n))\)によって実現できる。\(f (T_1)\)は\(T_2\)のサブスペース（部分空間）としてメトリックスペース（計量空間）である、そして、私たちは、\(T_2\)に基づいてではなく、\(f (T_1)\)に基づいて話をする、これ以降。
\(C\)上の以下を満たす任意のシーケンス\(s: N \rightarrow C\)、つまり、\(s\)のイメージ（像）\(f (s (n))\)は\(f (T_1)\)上で収束する、に対して、\(lim_{n \rightarrow \infty} f (s (n)) \in f (C)\)だと仮定しよう。
任意のメトリックスペース（計量空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は 当該サブセット（部分集合）上の全ての収束するシーケンスたちの収束ポイントたちのセット（集合）に等しいという命題によって、\(f (C)\)の\(f (T_1)\)上のクロージャー（閉包）\(\overline{f (C)}\)は、\(f (C)\)上の全ての収束するシーケンスたちの収束ポイントたちのセット（集合）である。\(f (C) \subseteq \overline{f (C)}\)、なぜなら、任意の\(p \in f (C)\)はコンスタントシーケンス\(f (s (n)) = p\)の収束ポイントであるから。\(\overline{f (C)} \subseteq f (C)\)、なぜなら、任意の\(p \in \overline{f (C)}\)に対して、\(p\)はあるシーケンスの収束ポイントである、そして、ある\(p' \in C\)に対して\(p = f (p')\)、本命題の仮定によって、したがって、\(p \in f (C)\)。したがって、\(f (C) = \overline{f (C)}\)、クローズド（閉）。
3: 注
\(f (C)\)の\(f (T_1)\)上でのクローズド（閉）性について私たちは話している、\(T_2\)上でのではなく、したがって、私たちは、\(f (T_1)\)上で収束するシーケンスたちについて話した、\(T_2\)上でではなく、そして、\(\overline{f (C)}\)は\(f (C)\)の\(f (T_1)\)上のクロージャー（閉包）である、\(T_2\)上のではなく、\(f (T_1)\)が\(T_2\)のサブスペース（部分空間）としてメトリックスペース（計量空間）である中。
