286: トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量空間）へのマップ（写像）に対して、クローズドセット（閉集合）のイメージ（像）はドメイン（定義域）のイメージ（像）上でクローズド（閉）である、もしも、クローズドセット（閉集合）上の任意のシーケンスでシーケンスのイメージ（像）がドメイン（定義域）のイメージ（像）上で収束するものに対して、収束ポイントがクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）上にいる場合

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トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量空間）へのマップ（写像）に対して、クローズドセット（閉集合）のイメージ（像）はドメイン（定義域）のイメージ（像）上でクローズド（閉）である、もしも、クローズドセット（閉集合）上の任意のシーケンスでシーケンスのイメージ（像）がドメイン（定義域）のイメージ（像）上で収束するものに対して、収束ポイントがクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）上にいる場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のシーケンスの定義を知っている。
• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
• 読者は、任意のメトリックスペース（計量空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は　当該サブセット（部分集合）上の全ての収束するシーケンスたちの収束ポイントたちのセット（集合）に等しいという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量空間）への任意のマップ（写像）に対して、任意のクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）はドメイン（定義域）のイメージ（像）上でクローズド（閉）である、もしも、当該クローズドセット（閉集合）上の任意のシーケンスでシーケンスのイメージ（像）がドメイン（定義域）のイメージ（像）上で収束するものに対して、当該収束ポイントが当該クローズドセット（閉集合）のイメージ（像）上にいる場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T_1$、任意のメトリックスペース（計量空間）$T_2$、任意のマップ（写像）$f:T_1\to T_2$に対して、任意のクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）$f(C)$は$f(T_1)$上でクローズド（閉）である、もしも、$C$上の以下を満たす任意のシーケンス$s:N\to C$、つまり、それに対して、$s$のイメージ（像）$f(s(n))$は$f(T_1)$上で収束する、に対して、当該収束ポイント$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}f(s(n))$は$f(C)$上にいる、つまり、$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}f(s(n))\in f(C)$、場合。

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2: 証明

$C$上の全てのシーケンスたちのイメージ（像）たちのコレクション$\{f(s)\}$は$f(C)$上の全てのシーケンスたちを代表する、なぜなら、任意の$p\in f(C)$に対して、ある$p^{\prime }\in C$に対して$p=f(p^{\prime })$、そして、$f(C)$上の任意のシーケンス$s^{\prime }:N\to f(C)$は$s^{\prime }(n)=f(s(n))$によって実現できる。$f(T_1)$は$T_2$のサブスペース（部分空間）としてメトリックスペース（計量空間）である、そして、私たちは、$T_2$に基づいてではなく、$f(T_1)$に基づいて話をする、これ以降。

$C$上の以下を満たす任意のシーケンス$s:N\to C$、つまり、$s$のイメージ（像）$f(s(n))$は$f(T_1)$上で収束する、に対して、$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}f(s(n))\in f(C)$だと仮定しよう。

任意のメトリックスペース（計量空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は　当該サブセット（部分集合）上の全ての収束するシーケンスたちの収束ポイントたちのセット（集合）に等しいという命題によって、$f(C)$の$f(T_1)$上のクロージャー（閉包）$\overline{f(C)}$は、$f(C)$上の全ての収束するシーケンスたちの収束ポイントたちのセット（集合）である。$f(C)\subseteq \overline{f(C)}$、なぜなら、任意の$p\in f(C)$はコンスタントシーケンス$f(s(n))=p$の収束ポイントであるから。$\overline{f(C)}\subseteq f(C)$、なぜなら、任意の$p\in \overline{f(C)}$に対して、$p$はあるシーケンスの収束ポイントである、そして、ある$p^{\prime }\in C$に対して$p=f(p^{\prime })$、本命題の仮定によって、したがって、$p\in f(C)$。したがって、$f(C)=\overline{f(C)}$、クローズド（閉）。

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3: 注

$f(C)$の$f(T_1)$上でのクローズド（閉）性について私たちは話している、$T_2$上でのではなく、したがって、私たちは、$f(T_1)$上で収束するシーケンスたちについて話した、$T_2$上でではなく、そして、$\overline{f(C)}$は$f(C)$の$f(T_1)$上のクロージャー（閉包）である、$T_2$上のではなく、$f(T_1)$が$T_2$のサブスペース（部分空間）としてメトリックスペース（計量空間）である中。

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参考資料

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