296: トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）は必ずしもコンパクトではない

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トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）は必ずしもコンパクトではないことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、あるコンパクトサブセット（部分集合）のあるサブセット（部分集合）は必ずしもコンパクトでないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

あるトポロジカルスペース（空間）$T$およびあるコンパクトサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、あるサブセット（部分集合）$S_1\subseteq S$は必ずしも$T$上でコンパクトである。

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2: 証明

1つの反例で十分だ。$T={\mathbb{R}}^2$でユークリディアントポロジーを持ったものを取ろう。$S=\overline{B_{p-ϵ}}$、そして、$S_1=B_{p-ϵ}$、ここで、$B_{p-ϵ}$は$p$を中心とする$ϵ$半径オープンボール（開球）であり、上線はクロージャー（閉包）を表わす。

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3: 注

"コンパクト"という単語は小さいことについてのことだと聞こえるかもしれないが、あるコンパクトサブセット（部分集合）のより小さなサブセット（部分集合）は必ずしもコンパクトではない。

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参考資料

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